Chapter I(5 隐函数微分法
Chapter 1(5) 隐函数微分法
路 教学要求: 1.会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数 K心
教学要求： 1. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数
问题引入 二隐函数存在定理1 三隐函数存在定理2 四方程组确定的隐函数 K心
一 .问题引入 二.隐函数存在定理1 三.隐函数存在定理2 四.方程组确定的隐函数
一问题引入 F(x,y)=0, 给定x有满足方程的y存在,则称方程确定了隐函数 F(x,y,z)=0, 给定(x,y)有满足方程的存在,则称方程确定了隐函数 并不是所有的方程都确定了隐函数 x2+y2+1=0, x2+y2+x2+3=0 如何求隐函数的导数与偏导数? K心
一 .问题引入 , . ( , ) 0, 给定x有满足方程的y存在 则称方程确定了隐函数 F x y = ( , ) , . ( , , ) 0, 给定 x y 有满足方程的z存在 则称方程确定了隐函数 F x y z = 并不是所有的方程都确定了隐函数. 1 0, 2 2 x + y + = 3 0. 2 2 2 x + y + z + = 如何求隐函数的导数与偏导数?
二.隐函数存在定理1 若(1)F(x,y)在U(B,内有连续偏导数; (2)F(x0,y)=0; (3)F(x0,y0)≠0 则(1)F(x,y)=0在U(P0,δ肭内唯一确定了单值 连续函数y=f(x),且y=f(x0) (2)有连续导数=-x dx J 注意:(1)证明从略,求导公式推导如下: Fx,f(x)≡0,OFOF 十 K心
二.隐函数存在定理1 (3) ( , ) 0; (2) ( , ) 0; (1) ( , ) ( , ) ; 0 0 0 0 0 = F x y F x y F x y U P y 若 在 内有连续偏导数 (2) . ( ), ( ); (1) ( , ) 0 ( , ) 0 0 0 y x F F dx dy y f x y f x F x y U P = − = = = 有连续导数 连续函数 且 则 在 内唯一确定了单值 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: F[x, f (x)] 0, = 0, + dx dy y F x F
即Fx+F吻 0. 由(3)可知丑U(,61)使得F≠0, d (2)在F(x,y)=0中,x,y平等 若Fx≠0则F(xy)=0确定了x=点女 dh (3)若F(x,y)有二阶连续偏导则可求二阶导数 K心
+ = 0, dx dy 即Fx Fy (3) , ( , ) 0, 由 可知 U P0 1 使得Fy . y x F F dx dy = − 0, ( , ) 0 ( ), . (2) ( , ) 0 , , . x y x F F dy dx F F x y x x y F x y x y = = = − = 若 则 确定了 且 在 中 平等 (3) 若F(x, y)有二阶连续偏导,则可求二阶导数
d F d x dx F y—x 0|F)0 y ax f ay f dx FF FF.-FF yx y y yy 2 2 F.F4-2F.FF.+FF 3 K心
= − y x F F dx d dx d y 2 2 y x F F − x y x dx dy F F F y F x y x y x − + − = 2 y xx y x yx F F F − F F = − − − − y x y xy y x yy F F F F F F F 2 . 2 3 2 2 y xx y x y xy yy x F F F − F F F + F F = −
K心 exL设smp+cx-xy2=0,求向, dx d Method1. F(x, y)=sin y+e-xy -y, Fy=coS y-2xy e dx cos y-2xy y e dxdx( cos y-2xy dy (2y 小y e )(cos y-2 xy)-(y Desin y9-2y-2x 小y dx (cos y-2xy)2
1. sin 0, , . 2 2 2 dx d y dx dy ex y e xy 设 + x − = 求 Method1. 2 F(x, y) sin y e xy x 令 = + − , 2 F e y x x = − y xy y e dx dy x cos 2 2 − − = = − − = y xy y e dx d dx d y x cos 2 2 2 2 2 2 (cos 2 ) (2 )(cos 2 ) ( )( sin 2 2 ) y xy dx dy y x dx dy e y xy y e y dx dy y x x − − − − − − − − F cos y 2xy, y = −
Method2 方程两边对x求导得 cosy.y+ex-(y2+2xy)=0 方程两边再对x求导得 siny(y)2+cosy·y”+ex 2yy-2yy-2x(y1)2-2xy=0 将一阶导数代入即可得二阶导数 K心
Method2. 方程两边再对x求导得 将一阶导数代入即可得二阶导数. cos ( 2 ) 0 2 x y y + e − y + xyy = 方程两边对 求导得 x x − sin y ( y) + cos y y + e 2 2 2 2 ( ) 2 0 2 − yy − yy − x y − xyy =
三.隐函数存在定理2 若(1)F(x,y,z)在U(P0,b)内有连续偏导数; (2)F(x0,y0,0)=0; (3)F2(x0,y0,0)≠0; 则(1)F(x,y,z)=0在U(P0,)内唯一确定了单值 连续函数z=f(x,y),且=f(x0,y); (2)有连续偏导数 Oz F az Ox F, ay F 注意:(1)证明从略,求导公式推导如下: K心
三.隐函数存在定理2 (3) ( , , ) 0; (2) ( , , ) 0; (1) ( , , ) ( , ) ; 0 0 0 0 0 0 0 = F x y z F x y z F x y z U P z 若 在 内有连续偏导数 (2) , . ( , ), ( , ); (1) ( , , ) 0 ( , ) 0 0 0 0 z y z x F F y z F F x z z f x y z f x y F x y z U P = − = − = = = 有连续偏导数 连续函数 且 则 在 内唯一确定了单值 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: