中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter2（1）重积分的概念与性质

Chapter 2(1 重积分的概念与性质

Chapter 2(1) 重积分的概念与性质

教学要求: 1.理解二重积分、三重积分的概念; 2.了解重积分的性质 3.了解二重积分、三重积分的中值定理 K<DD

教学要求： 1. 理解二重积分、三重积分的概念; 2. 了解重积分的性质; 3. 了解二重积分、三重积分的中值定理

二重积分的概念与性质 三重积分的概念与性质 K心[

一 .二重积分的概念与性质 二.三重积分的概念与性质

二重积分的概念与性质 1.二重积分的定义 则V=lim∑f(5,m)△o ->0 1)引例(考虑曲顶柱体的体积) 已知以z=(xy)为曲顶,以xoy面上区域D为底,侧面是 以D的边界曲线为准线母线平行于z轴的柱面,构成 曲顶柱体,求其体积 z=f(x, y) Solution根据平顶柱体体积=底面积x高 f(51,m) (1)分割D得△G1,△a2,…,△a;…,△σn (2)V(,m)∈△,则v≈f(;,mh)△a J 且V=∑V≈∑∫(5,m)△σ D (3)令礼=max{△,“,△o的直径(5,m)图圆

一 .二重积分的概念与性质 1. 二重积分的定义 1) 引例（考虑曲顶柱体的体积） 已知以z=f(x,y)为曲顶，以xoy面上区域D为底，侧面是 以D的边界曲线为准线母线平行于z轴的柱面，构成一 曲顶柱体，求其体积. x y z o D z = f (x, y) Solution. 根据平顶柱体体积= 底面积高 D    i  n (1) , , , , , 分割 得 1 2    i ( , )  i i ( , ) i i f   i i i i i i i (2)( , ) ,则V  f ( , )   = = =   n i i i i n i i V V f 1 1 且 ( , )  (3) max{ , , } 令 =  1   n的直径 lim ( , ) . 0 =   → n i i i i V f     则

2)二重积分的定义 设f(x,y)是闭区域D上的有界函数 (1)将D任意分成n个小区域△σ1,…,△an, 其中△a既表第个区域,又表其面积; (2)V(,n)∈△a1,作乘积f(;,m1)△a(i=1,2,…,n 并作和∑f(5;m1)△a; (3)令元=max{△o的直径},取极限mm∑f(51,m)△a1; 10 若此极限存在,则称该极限值为f(x,y)在D上的 二重积分,记为 ∫(x,y)do=lm∑f(9,m)△ D ->0 K心

2) 二重积分的定义 ( , ) ; (2) ( , ) , ( , ) ( 1,2, , ), , ; (1) , , , ( , ) , 1 1  =      =    n i i i i i i i i i i i n f f i n i D n f x y D             并作和 作乘积 其中 既表第 个区域 又表其面积 将 任意分成 个小区域 设 是闭区域 上的有界函数   (3) max{ }, lim ( , ) ; 1 1 0  → =   =   n i i i i i i n   f     令 的直径 取极限 二重积分 记为 若此极限存在 则称该极限值为 在 上的 , , f (x, y) D ( , ) lim ( , ) . 1 0   → = =  n i i i i D f x y d f    

(,yao- lim Zf(5, m)Ao →0 被积 被面 积分 积积积 函变 表元分 数 达素和 式 注意: (1)若二重积分存在,则为一确定数值; (2)若二重积分存在,则取分割为平行坐标轴的直线 网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形, K心

积 分 区 域  D f (x, y)d i i n i i f     =   = → lim ( , ) 1 0 . 积 分 和 被 积 函 数 积 分 变 量 被 积 表 达 式 面 积 元 素 注意: (1) 若二重积分存在, 则为一确定数值; (2) 若二重积分存在, 则取分割为平行坐标轴的直线 网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形

H 口口 则△G=AxAy,面积元素=d, 则∫f(x,y)do=』(x,ydd D D (3)引例中曲顶柱体体积为 V=f(x, y)dxdy, D (4)定积分中△x可正可负故下限可大于上限, 而这里△a;>0,计算时须注意 (5)存在性问题:若fx)在闭区域D上连续, 则二重积分存在 K心

x y o D x y , d dxdy, 则 i =  j k 面积元素  = ( , ) ( , ) ;  = D D 则 f x y d f x y dxdy (3) 引例中曲顶柱体体积为 ( , ) ; =  D V f x y dxdy 0, ; (4) , , 而这里 计算时须注意 定积分中 可正可负 故下限可大于上限    i xi  (5) 存在性问题: 若f(x,y)在闭区域D上连续, 则二重积分存在

3)几何意义:f(x,y)20时,f(x,yd小为体积 D f(x,y)<0时,j(x,)dd为体积但本身值为你 故』f(x,y)表示曲顶柱体体积的代数和 D 6-z=x2+ =x ty V=SVx2+32dxdy V=J(6-x2-y2dedy D D 表示哪里? 表示哪里? K心

3)几何意义： ( , ) 0时, ( , ) 为体积;   D f x y f x y dxdy ( , ) 0时, ( , ) 为体积,但本身值为负;   D f x y f x y dxdy 故 ( , ) 表示曲顶柱体体积的代数和.  D f x y dxdy x y z o a 2 2 z = x + y ? 2 2 表示哪里 =  + D V x y dxdy x y z o a 2 2 6 − z = x + y ? (6 ) 2 2 表示哪里 =  − − D V x y dxdy

2.二重积分的性质 性质1.J4f(x,y)lo=kf(x,y)do(为常数) D D 性质2.f(x,y)±g(x,y) D =』f(x,y)do土g(x,y)la D 性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) ∫f(x,y)do=f(x,y)da+』(x,y)da DI 性质4若为D的面积,=∫1=∫d D K心

2. 二重积分的性质 性质1. kf (x, y)d k f (x, y)d (k为常数). D D   =   性质2.   D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) . =    D D f x y d g x y d 性质3. 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2  =  +  D D D f x y d f x y d f x y d ( ) D = D1 + D2 性质4. 若  为D的面积， 1 .  =  =  D D  d d

性质5若在D上f(x,y)≤g(x,y), 则叮f(x,y)dos」g(x,y)do D D 特殊地∫/(x,)dosj(x,p)da 性质6.设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的 最大值和最小值,o为D的面积,则 mos』(x,y) do< Mo D (二重积分估值不等式) K心

性质5. 若在D上 f (x, y)  g(x, y), ( , ) ( , ) .   D D 则 f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) .    D D f x y d f x y d 性质 6. 设M、m 分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则    D m f (x, y)d M （二重积分估值不等式）