Chapter 1(2 方阵的行列式
Chapter 1(2) 方阵的行列式
教学要求: 1.了解行列式的定义和性质; 2.掌握三阶、四阶行列式的计算法 会计算简单的n阶行列式; 3.了解排列与对换; 4.会用 Gramer法则解线性方程组 K心
教学要求： 1. 了解行列式的定义和性质; 2. 掌握三阶、四阶行列式的计算法， 会计算简单的n阶行列式; 3. 了解排列与对换; 4. 会用Gramer法则解线性方程组
行列式的定义 二行列式的性质 三行列式的计算举例 四方阵乘积的行列式 五排列与对换 六 Gramer(克菜姆)法则
一 .行列式的定义 二.行列式的性质 三.行列式的计算举例 四.方阵乘积的行列式 五.排列与对换 六.Gramer(克莱姆)法则
行列式的定义 定义1.二阶行列式定义为 12 D 11422 12021 21 22 二阶行列式的计算一一对角线法则 主对角线a1 12 =122-12 副对角线 12
一 .行列式的定义 定义1. 二阶行列式定义为 . 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − 11 a 12 a a12 a22 主对角线 副对角线 对角线法则 = a11a22 . − a12a21 二阶行列式的计算
定义2.三阶行列式定义为 2 13 a21a2a2=a1223+a122331+m132132 313233m1123x-l122133-l3u22x 三阶行列式的计算一对角线法则 12 N=a123+a121+a232 1342231-121213-m12332 注意红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上 元素的乘积冠以负号
定义2. 三阶行列式定义为 11 23 32 12 21 33 13 22 31, 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 三阶行列式的计算---对角线法则 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 11 22 33 = a a a . − a11a23a32 13 21 32 + a a a 12 23 31 + a a a − a13a22a31 − a12a21a33 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负 考察三阶行列式如下: 1a1213 22 3 114223+a1242331+13"3221 32 3-a13a231-a12213-a1a2332 =a1(233-a23432)-a12(a2143-a2331) +a 13(u32u212231
说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 考察三阶行列式如下： 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 22 33 12 23 31 13 32 21 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + ( ) ( ) ( ) 1 3 3 2 2 1 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 1 a a a a a a a a a a a a a a a + − = − − −
2223 23 22 a 13 32a3 33 32 =a1(-1) 1+122223 +a12(-1) 1+22123 32 33 33 +a13(-1) 1+3121 2 32 记为 1+3 11 (-1)4+1M1+a12(-1)1+2 M1+a12(-1)1中M 12 3 13 记为 ==a141+a12412+a13413 称M1,M12,M13和41,A12,A13分别是 a1,a2,a1的余子式和代数余子式
3 1 3 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 3 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 1 2 2 2 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a a a + + + + − = − + − 13 1 3 12 13 1 2 11 12 1 1 11 a ( 1) M a ( 1) M a ( 1) M + + + = = − + − + − 记 为 = = a11A11 + a12A12 + a13A13 记为 称M11, M12, M13和A11, A12, A13分别是 , , . a11 a12 a13的余子式和代数余子式
定义3.代数余子式 12 n 在 22 2中划去元素所在的第行与第冽 n n2 nn 剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式 1j+1 11 -1j-1ti-1j+1 4-1n/记为 i+11 +1j-1ai+1j+1 +1n nn K
定义3. 代数余子式 , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 在 中划去元素a 所在的第i行与第j列 a a a a a a a a a i j n n nn n n 剩下的元素按原来的排法构成一个新的行列式 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i j n nj nj nn i i j i j i n i i j i j i n j j n M a a a a a a a a a a a a a a a a 记 为 == − + + + − + + + − − − − + − − +
称为元素a;的余子式记为Mm; 而4=(-1)M,称为的代数余子式 定义4 2 n 由n2个数组成的n阶行列式D 2 a2n 2 n 是一个算式,且 11 n=1 D “p4j=4141+122+…n4n,n>1 其中41,是a;(j=1,2,…,m的代数余子式
( 1) . , ; 而 称为 的代数余子式 称为元素 的余子式 记为 i j i j i j i j i j i j A M a a M + = − 定义4. 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 n n nn n n a a a a a a a a a n n D 由 个数组成的 阶行列式 = 是一个算式，且 , , 1 , 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 = + + = = = a A a A a A a A n a n D n n n j j j ( 1,2, , ) . 其中A1 j是a1 j j = n 的代数余子式
注意 (1)行列式是一些乘积的代数和,每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的 (2)阶行列式中共有项(ClCh1…C2C1) (3)定义4中行列式按第一行展开,同样也可按第一列 展开,甚至按行列式中任意行或列展开 由此可计算一些行列式 (4)一阶行列式a=a不要与绝对值记号相混淆 12 n 0 Example证明Dn= 22 n 11422…a 00 K
注意： (1)行列式是一些乘积的代数和，每一项乘积都是由行 列式中位于不同行不同列的元素构成的. (2) ! ( ). 1 1 1 2 1 1 1 n阶行列式中共n 有项 CnCn− C C (3) 定义4中行列式按第一行展开，同样也可按第一列 展开，甚至按行列式中任意行或列展开. 由此可计算一些行列式. Example1. . 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 nn nn n n n a a a a a a a a a D 证明 = = (4)一阶行列式a = a不要与绝对值记号相混淆