中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter5（3）正定二次型

Chapter 5(3 正定二次型

Chapter 5(3) 正定二次型

少列究意洲 数学要求: 1.了解惯性定理; 2.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法

教学要求： 1. 了解惯性定理; 2. 了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法

惯性定理 二正定二次型与正定矩阵 三.判定法 K

一 .惯性定理 二.正定二次型与正定矩阵 三.判定法

.惯性定理 定理1无论作怎样的可逆线性变换,由二次型∫=xAx 得到的标准形中,正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的.且p+q=(4) 设有实二次型f=x4x,它的秩为r,有两个可逆变换 x=Cy及x=P 使f=k1y2+k2y2+…+k1y2(k1≠0 及f=41+2+…+(14≠0) 则k1,…,k,中正数的个数与1,…,中正数的个数 相等

一 .惯性定理 定理1.无论作怎样的可逆线性变换, 由二次型 f = xAx 得到的标准形中, 正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的. 且 p+q=r(A). 即 ( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 设有实二次型 它的秩为 有两个可逆变换 r r r r i r r i k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz f x Ax r           = + + +  = + + +  = = = 

二正定二次型与正定矩阵 定义1对于实二次型∫=x4x,若x(≠0)∈R都有 (1)xAx>0,则/为正定二次型,A为正定矩阵; (2)x4x0,A<0,A≥0,A≤0记4正定,负定,半正定,半负定

二.正定二次型与正定矩阵 定义1. 对于实二次型 f = xAx, 若x( 0) R n都有 (1) xAx  0,则f为正定二次型, A为正定矩阵; (2) xAx  0,则f为负定二次型, A为负定矩阵; (3) xAx  0,则f为半正定二次型, A为半正定矩阵; (4) xAx  0,则f为半负定二次型, A为半负定矩阵; (5) 否则,称f是不定的, A是不定的. 0, 0, 0, 0 , , , . , 记 正定 负定 半正定 半负定 为了方便 通常以 A  A  A  A  A

判定法 定理2.实二次型f=xAx正定的充要条件是: 它的标准形的n个系数全为正 推论.对称矩阵A正定的充要条件是: A的特征值全部为正数 定义2 n 设A A的前i,训构成的价子式 nn 称为4的阶顺序主子式 K

三.判定法 定理2. . : 它的标准形的 个系数全为正 实二次型 正定的充要条件是 n f = xAx 推论. . : 的特征值全部为正数 对称矩阵 正定的充要条件是 A A 定义2. , , 1 1 1 1 设 A的前i行 i列构成的i阶子式 a a a a A n nn n           =      . 1 1 1 1 称为A的i阶顺序主子式 a a a a P i i i i i      =

定理3(1)实二次型f=xAx正定 台A的所有顺序主子式全大于0 (2)实二次型∫=xA4x负定 分A的奇数阶顺序主子式全小于0, 偶数阶顺序主子式全大于0 正定二次型(正定矩阵)的判别方法: (1)定义法 (2)顺次主子式判别法 (3)特征值判别法 K

定理3. 0. (1) 的所有顺序主子式全大于 实二次型 正定 A f x Ax  =  0 0, (2) 偶数阶顺序主子式全大于 的奇数阶顺序主子式全小于 实二次型 负定 A f x Ax  =  正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1) 定义法 (2) 顺次主子式判别法 (3) 特征值判别法

正定矩阵具有以下一些简单性质 (1)设A为正定实对称阵则A4,A-,A·均为正定矩阵 由特征值法来证明 (2)若A,B均为n阶正定矩阵,则4+B也是正定矩阵 .'x(A+ B)x=xAx+x'Bx>0. K

正定矩阵具有以下一些简单性质 (1) , , , ; 设A为正定实对称阵 则A A −1 A 均为正定矩阵 由特征值法来证明 (2) 若A, B均为n阶正定矩阵,则A+ B也是正定矩阵.  x(A+ B)x = xAx + xBx  0

e1.判别二次型的正定性: (1)∫=-2x2-6x2-4x3+2x1x2+2x1x3 (2)f=x2+3x2+9x3+19x2-2x1x2+4x1x3+2x1x -6x2x4-12x3x Solution 21 (1)二次型∫的矩阵A=1-60 f=-20,P3=38<0 6 是负定的 K

ex1. 判别二次型的正定性： 2 4 3 4 1 2 1 3 1 4 2 4 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 6 12 (2) 3 9 19 2 4 2 (1) 2 6 4 2 2 x x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x x x − − = + + + − + + = − − − + + Solution. , 1 0 4 1 6 0 2 1 1 (1)           − − − 二次型 f 的矩阵 A = 2 0, P1 = −  1 6 2 1 2 − − P = = 11  0, 38 0. P3 = −   f是负定的

13 3 (2)A 209 20 -6 3-619 B1=1>0,P2 2>0. 13 f=-130=6>0,P=24>0 209 是正定的 K

            − − − − − − = 1 3 6 19 2 0 9 6 1 3 0 3 1 1 2 1 (2) A 1 0, P1 =  2 0, 1 3 1 1 2 =  − − P = 6 0, 2 0 9 1 3 0 1 1 2 3 − =  − P = 24 0. P4 =   f是正定的