第二章数学与现实世界 从现实世界到数学模型 数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁 面对各类问题: 1.世界的末日? 当一个直径约为1000米的小行星正好在南极 与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响? 2.如何控制喷泉的高度? 如何智能控制广场中央的喷泉高度,以避免 水雾浸湿游客的衣衫?
第二章 数学与现实世界 一. 从现实世界到数学模型 数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁 面对各类问题： 当一个直径约为1000米的小行星正好在南极 与南极洲大陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？ 1. 世界的末日？ 2. 如何控制喷泉的高度？ 如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免 水雾浸湿游客的衣衫？
3怎样安排性急的游客? 在大型游乐场里如何安排游客,让他们乐意等 待,乐意花钱? 4.人的指纹是否惟一? 数学模型是对于现实世界的一个特定对象, 为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出必 要的简化假设,运用适当的数学工具建立的一个 数学结构
3. 怎样安排性急的游客？ 在大型游乐场里如何安排游客, 让他们乐意等 待，乐意花钱？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 为了一个特定目的，根据特有的内在规律,做出必 要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个 数学结构. 4. 人的指纹是否惟一？
现建立数学模型 数 推理 演绎 实世界 学 世。○求解 翻译为实际解答界 实际解答:如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。 始于现实世界并终于现实世界
现 实 世 界 数 学 世 界 建立数学模型 推理 演绎 求解 翻译为实际解答 实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。 始于现实世界并终于现实世界
例2.1一场笔墨官司(放射性废物的处理问题) 美国原子能委员会(现为核管理委员会) 处理浓缩放射性废物,是将废物放入密封性能 很好的圆桶中,然后扔到水深300英尺的海里 他们这种做法安全吗? 联想:安全、危险 分析:可从各个角度去分析造成危险的因素, 这里仅考虑圆桶泄露的可能. 问题的关键
例2.1 一场笔墨官司（放射性废物的处理问题） 美国原子能委员会（现为核管理委员会） 处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能 很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里. 他们这种做法安全吗？ 分析：可从各个角度去分析造成危险的因素， 这里仅考虑圆桶泄露的可能. 联想：安全 、危险 问题的关键
圆桶至多能承受多大的冲撞速度?(40英尺/秒) 圆桶和海底碰撞时的速度有多大? 问题:求这一种桶沉入300英尺的海底时的末 速度.(原问题是什么?) 可利用的飘据条件 圆桶的总重量W=527.327(磅) 圆桶受到的浮力B=470.327(磅) 园桶下沉时受到的海水阻力D=Cv,C=0.08 可利用牛顿第二定律,建立圆桶下沉位移 满足的微分方程:
* 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒) * 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末 速度.（原问题是什么?） 可利用的数据条件： 圆桶的总重量 W=527.327（磅） 圆桶受到的浮力 B=470.327（磅） 圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08 可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移 满足的微分方程：
dr2=w-B-D 其中m=,D=C=p dy cQ g 或 (W-B) (2) (0)=0. 方程的解为
(1) 2 2 W B D dt d y m = − − v dt dy D C v g w 其 中 m = , = , = (2) (0) 0. ( ), = + = − V W B W g v W cg dt dv 或 方程的解为
W-B v(t) t>0 C 计算碰撞速度,需确定圆桶和海底的碰撞时间t 分析:考虑圆桶的极限速度 W-B527.436-470.327 lim v(t) 0.08 ≈71386(英尺秒)>>40(英尺/秒) 实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大! 结论:解决问题的方向是正确的 解决思路:避开求t的难点
计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0 分析：考虑圆桶的极限速度 0.08 527.436 470.327 lim ( ) − = − = → C W B v t t ( ) (1− ), 0 − = − e t C W B v t t W Cg ≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒） 实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！ 结论：解决问题的方向是正确的. 解决思路：避开求t 0的难点
令v(t)=v(y(,其中y=y()是圆桶下沉深度 将 代入(1)得 dv dy w-B-Cv dv at dv 或W一B-CvdW v(0)=0,J(0)=0
令 v(t)=v(y(t)), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度 dt dy dy dv dt dv 将 = . 代入（1）得 . W B Cv, dt dy dy dv m = − − = = = − − (0) 0, (0) 0. , v y W g dy dv W B C v v 或
两边积分得函数方程 D -B W-B-Cy 着能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度 (300)(试一试) 用数值方法求出v(300的近似值为 v300≈45.41(英尺/秒)>40(英尺/秒) 分析v=v(y)是一个单调上升函数,而v增 大y也增大可求出函数y=y(y) 子× B W-B-Cv In w B
两边积分得函数方程： ln , 2 W gy W B W B Cv C W B C v = − − − − − − 若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度 v(300).(试一试) * 用数值方法求出v(300)的近似值为 v(300)≈45.41（英尺/秒）＞40（英尺/秒） * 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增 大,y 也增大,可求出函数y=y(v) ( ln ), 2 W B W B C v C W B C W g W y − − − − = − +
令v=40(英尺秒),g=322(英尺/秒),算出 y=2384(英尺)<300(英尺) 问题的实际解答:美国原子能委员会处理 放射性废物的做法是极其危险的,必须改变。 例22渡口模型 个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米 可以并排停放两列车辆的渡船他在考虑怎样 在甲板上安排过河车辆的位置才能安全地运 过最多数量的车辆 分析:怎样安排过河车辆,关心一次可以运 多少辆各类车
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），算出 y= 238.4 (英尺)＜300（英尺） 问题的实际解答：美国原子能委员会处理 放射性废物的做法是极其危险的，必须改变。 例2.2 渡口模型 一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米， 可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样 在甲板上安排过河车辆的位置,才能安全地运 过最多数量的车辆. 分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运 多少辆各类车