63模型的参数估计 数学建模的一个重要工作是建立变量间的数 学关系式,但公式中几乎总是涉及一些参数 如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对 土豆产量的影响 氮肥:y=b+b1x+b2x2, 磷肥: 或y=A-B a+be 要得到最终可应用于实际的经验模型 必须确定公式中的各个参数
6.3 模型的参数估计 数学建模的一个重要工作是建立变量间的数 学关系式, 但公式中几乎总是涉及一些参数. 如用下面三个数学式描述肥素的施肥水平对 土豆产量的影响： x a be y − + = 1 磷肥： 要得到最终可应用于实际的经验模型， 必须确定公式中的各个参数 , 2 氮肥： y = b0 + b1 x + b2 x . Cx y A Be− 或 = −
求模型中参数的估计值有三种常用方法: 图解法、统计法、机理分析法。 1.图解法 对经验模型的精度要求不高,只需对参数做 出粗略估计时可采用图解法 例6.3.1磷施肥量与土豆产量的关系式 V=A-Be-Cix 需估计三个参数A、B、C,观察图7.3,数据 点都位于直线y=43的下方,并且数据点越来越靠 近这条直线,可以估计A=43
求模型中参数的估计值有三种常用方法： 图解法、统计法、机理分析法。 对经验模型的精度要求不高, 只需对参数做 出粗略估计时可采用图解法. 例6.3.1 磷施肥量与土豆产量的关系式 需估计三个参数A、B、C, 观察图7.3，数据 点都位于直线 y=43的下方，并且数据点越来越靠 近这条直线，可以估计A=43 . 1．图解法 Cx y A Be− = −
例62.2(见P158例721)表中给出了12月1日 星期二)和12月2日(星期三)两天內的海浪潮 高度值相对于海堤上的零标尺记号以米为 单位)能依据此表来预测12月5日(星期六)下 午1:00的海浪高度值吗? 分析根据对数据散布图的分析,采用函数 x(t)= a sin b(t-t),其中x(t*)=0,(1 E x(t)=asin(bt)+ccos(bt) (2) 需估计振幅a和频率b 解决方法:直接量出高低浪之间的高度差为 66米,□a=33(米)
例6.2.2(见P158例7.2.1) 表中给出了12月1日 (星期二)和12月2日(星期三)两天内的海浪潮 高度值(相对于海堤上的零标尺记号,以米为 单位),能依据此表来预测12月5日(星期六)下 午1:00的海浪高度值吗？ 分析 根据对数据散布图的分析, 采用函数 需估计振幅 a 和 频率b. 解决方法：直接量出高低浪之间的高度差为 6.6米， a ˆ = 3.3(米) ( ) = sin[ ( − )], ( ) = 0, (1) x t a b t t 其 中x t 或 x(t) = asin(bt)+ ccos(bt) (2)
量出海浪变化周期约为12.3小咐时口 2丌 =12.3 b=051(每小时) b 得经验模型 x()=33sin0.511(t-t"),t≥0. 将频率的估计代入(2)式有 x(t=asin(0.511t)+ccos(0.511t) 代入x(0=c=2.4及x(23)=36 >=-27 得关于海浪潮随时岣变化的另一经验模型 x(t)=-27sin(0.511t)+2.4c0s(0.51t),t≥0
量出海浪变化周期约为12.3小时 12.3 2 = b 0.511 ( ) b ˆ = 每小时 得经验模型 将频率的估计代入(2)式, 有 代入x(0)=c=2.4 及 x(23)=3.6 a ˆ = −2.7 得关于海浪潮随时间变化的另一经验模型 x(t) = −2.7sin(0.511t) + 2.4cos(0.511t), t 0. x(t) = a sin(0.511t) + c cos(0.511t) ( ) = 3.3sin[0.511( − )], 0. x t t t t
模型应用 预测12月5日下午1:00的海浪潮高度为 x(109)=24c0s(5.11×109)-2.7sin(5.11×109) 24c0s(55.7)-2.7sin(55.7) 24c0s(5430-27sin(557)~36(米) 误差分析这一时刻潮位的实际观察值为41米, 相对误差大约是12%,请考虑一下成因 仔细分析图55,可发觉图中 (1)x=0似乎不是海浪高低潮位的中值; (2)振幅随时间的延续似乎在轻微地增大
x(109) = 2.4cos(5.11×109) －2.7sin(5.11×109) 误差分析 这一时刻潮位的实际观察值为4.1米, 相对误差大约是12%, 请考虑一下成因. 仔细分析图5.5, 可发觉图中 模型应用 预测12月5日下午1:00的海浪潮高度为 (1 ) x=0似乎不是海浪高低潮位的中值; (2) 振幅随时间的延续似乎在轻微地增大. =2.4cos(55.7)－2.7sin(55.7) =2.4cos(5.430－2.7sin(55.7)≈3.6(米)
思考怎样考虑这些细节来修改模型以获得更 准确的预报呢? 2统计法 参数估计的统计处理,往往运用最小二乘法估计 设有一组样本值: (x1,y),(x2,2),,(xn,n) 对选定的一元回归函数山(回归模型为 Y=(x)+E,E~N(0.02 令;=山(x),i=1,2,…,m,称 s=∑(n-1)2=∑2-(x1)2
参数估计的统计处理, 往往运用最小二乘法估计. 2. 统计法 思考 怎样考虑这些细节来修改模型,以获得更 准确的预报呢？ 设有一组样本值: ( , ), ( , ), ,( , ) 1 1 2 2 n n x y x y x y 对选定的一元回归函数 (x ,回归模型为 ) ～N(0,σ2 Y = (x) + , ), 令 y ˆ i = (xi ), i = 1,2, ,n, 称 = = = − = − n i n i i i i i S y y y x 1 1 2 2 ( ˆ ) [ ( )]
为模型的残差平方和 应选取叫中的未知参数使S达最小值 当回归函数为μ(x)=a+bx,回归模型 Y=a+bx +e, 8N(0, 0) 称为一元线性回归模型,其残差平方和为 S=∑(r-a-bx)2 对S分别求关于a,b的偏导数,并令其等于零 得线性方程组如下:
为模型的残差平方和. 应选取μ(x)中的未知参数, 使S达最小值 当回归函数为μ(x)=a +bx，回归模型 ～N(0,σ2 ) Y = a + bx + , 称为一元线性回归模型, 其残差平方和为 = = − − n i i a bxi S y 1 2 ( ) 对S 分别求关于 a, b 的偏导数, 并令其等于零 得线性方程组如下：
∑(-a-bx)=0, 2∑(y2-a-bx)x=0 i=1 整理得正规方程组如下: na+b>xi i=1 Exi+bxi=>x i=1 i=1 i=1
− − − = − − − = = = n i i i i n i i i y a bx x y a bx 1 1 2 ( ) 0 2 ( ) 0, 整理得正规方程(组)如下： + = + = = = = = = n i i i n i i n i i n i i n i i a x b x x y na b x y 1 1 2 1 1 1
求得解b= 一元线性回 a=p-0O<归模型参数 计公式 其中 x=∑x, ∑(x;-x) 1x=∑(x2-x)(-P i=1
= − = a y b x ll b xx xy ˆ ˆ 求得解 ˆ , 1 1 = = n i i x n x = = n i i y n y 1 1 其中 一元线性回 归模型参数 估计公式 = = − n i xx i l x x 1 2 ( ) = = − − n i xy i i l x x y y 1 ( )( )
部分非线性回归函数经变量代换可化为线性 函数利用线性参数估计公式进行估计,如 例6.3.1磷施肥量和土豆产量的回归函数选为 atbe 令 9=e y=a+bx 对数据进行相应变换,可估计出 a=0.0232,b=0.0073
部分非线性回归函数经变量代换可化为线性 函数,利用线性参数估计公式进行估计,如 例6.3.1 磷施肥量和土豆产量的回归函数选为 x a be y − + = 1 令 x e x ， y y − = , = 1 y = a + bx 对数据进行相应变换, 可估计出 a ˆ = 0.0232, 0.0073, ˆ b =