n人合作对策模型 设I={,2,…,n},“i”代表第i个可能参加的合 作者. 定义1:对于每一个子集ScL,对应一个确定的 实数V(S),v(S满足: (1)V(S)≥0,对所有的ScI (2)V(中)=0 (3)V(S1US2)≥VS1)+V(S2),对一切满足S1∩S2 φ的S1、S2成立 称V(S为I上的特征函数 特征函数v(S)的实际意义是若S中的人参加一种 合作这一合作的总获利数 例.将三个城市记为I={1,2,3,则{}、{1,2}、{1, 3}、{1,2,3}都 是I的子集,分别对应有城市1参加的各种合作方式 用v(S表示以单干为基准的合作获利值,有 v({1}=0 V({1,2})=(2300+1600)-(5800-2300=400万 元); V({1,3})=0(因为(2300+2300)-(6230-1600)=
n 人合作对策模型 设 I={1, 2, …, n}, “ i ”代表第 i 个可能参加的合 作者. 定义 1：对于每一个子集 S I, 对应一个确定的 实数 V(S),V(S)满足： (1) V(S)≥0, 对所有的 S I； (2) V(φ)= 0； (3) V(S1∪S2)≥V(S1)+V(S2),对一切满足 S1∩S2= φ的 S1、S2 成立. 称 V(S)为 I 上的特征函数. 特征函数 V(S)的实际意义是若 S中的人参加一种 合作,这一合作的总获利数. 例. 将三个城市记为 I={1, 2, 3},则{1}、{1, 2}、{1, 3}、{1, 2, 3}都 是 I 的子集, 分别对应有城市 1 参加的各种合作方式. 用 V(S)表示以单干为基准的合作获利值,有 V({1})= 0； V({1, 2})=(2300+1600) － (5800 － 2300)=400( 万 元)； V({1, 3})=0 (因为(2300＋2300)－(6230－1600)=
30万元); V({1,2,3})=(2300+1600+2300)-5560=640(万 元 方案总投资城1投城2投城3投资 资 资 (1)620023001600 2300 (2)5800 ? ? 2300 (3)59502300 (4)6230 1600 ?? (5)5560 ? ? 城市合作能产生效益640万元,如何分配? 定义2.定义合作V(S)(ScD的分配为 v(V)=(1(v),中2(V),…,业a(v) 其中ψ;(v)表示第i个人在这种合作下分配到的获 利,称v(V)为合作对策 不同的合作应有不同的分配,问题归结为寻求 个合理的分配原则 Shapley公理 公理1.合作获利者对每个人的分配与此人的标号
－30(万元))； V({1, 2, 3})=(2300+1600+2300) － 5560=640(万 元). 方案 总投资 城 1 投 资 城 2 投 资 城 3 投资 （1） 6200 2300 1600 2300 （2） 5800 ？ ？ 2300 （3） 5950 2300 ？ ？ （4） 6230 ？ 1600 ？ （5） 5560 ？ ？ ？ 三城市合作能产生效益 640 万元，如何分配？ 定义 2. 定义合作 V(S)（S I）的分配为 Ψ(V)=（ψ1(v),ψ2(v)，…，ψn(v)） 其中ψi (v)表示第 i 个人在这种合作下分配到的获 利,称Ψ(V)为合作对策. 不同的合作应有不同的分配, 问题归结为寻求一 个合理的分配原则. Shapley 公理： 公理 1. 合作获利者对每个人的分配与此人的标号
无关; 公理2.∑q(V)=(D),即每人分配数的总和等于 总获利数: 公理3.若对所有包含i的子集S,有V(S-{i}) V(S),则中(v)=0 公理4.若n个人同时进行两项互不影响的合作, 则两项合作的分配也应互不影响 Shapley证明了满足公理1~4的(V)存在并且 唯一,由下式给出 g()=∑W(SW(S)-(S=1}) S∈T T是I中包含i的一切子集构成的集族。S表示集合S 中的元素个数, w(S) (S-1:(n-|S) (2) 注:(1)式中的 V(S)-V(S一{)可视为第i人在合作S中所做的 贡献; W(S)可看成第i人的贡献在总贡献中所占的 权重
无关； 公理 2. ( ) ( ) 1 V V I n i i = = ,即每人分配数的总和等于 总获利数： 公理 3. 若对所有包含 i 的子集 S，有 V（S－｛i｝） =V(S), 则ψi(v)=0； 公理 4. 若 n 个人同时进行两项互不影响的合作， 则两项合作的分配也应互不影响. Shapley 证明了满足公理 1～4 的Ψ(V)存在并且 唯一，由下式给出： = − − S Ti i (V) W( S )[V(S) V(S i})] （1） Ti是 I 中包含 i 的一切子集构成的集族。 S 表示集合 S 中的元素个数， ! ( 1)!( )! ( ) n S n S W S − − = （2） 注：（1）式中的： * V(S)－V(S－{I})可视为第 i 人在合作 S 中所做的 贡献； * W ( S ) 可看成第 i 人的贡献在总贡献中所占的 权重
