62经验模型 基于数据分析的建模方法 问题 *在建立数学模型的过程中经常需要建立变量 之间的关系 *由于对研究对象的内部机理不甚了解不能通 过合理的假设或根据物理定律、原理,经过机 理分析法而得到 解决思路 借助于由实验或测量得到的一批离散数据
6.2 经 验 模 型 一.基于数据分析的建模方法 * 在建立数学模型的过程中,经常需要建立变量 之间的关系. *由于对研究对象的内部机理不甚了解,不能通 过合理的假设,或根据物理定律、原理, 经过机 理分析法而得到. 问题 解决思路 * 借助于由实验或测量得到的一批离散数据
通过对数据充分观察和分析获得数据所含信息; 揭示变量间的内在联系; 并选择适当的数学式对变量间的关系进行拟合 J
*并选择适当的数学式对变量间的关系进行拟合. *通过对数据充分观察和分析, 获得数据所含信息; *揭示变量间的内在联系; o x y
类确定性关系确定的函数关系 变量关系 相关关系存在相依关系,但未达到相 互确定的程度 已知规律函数的测试数据(在特定时 两间点或距离上的数据) 类 数 据呈现随机性的数据可看成具有某种概 率分布的随机样本值
两 类 变 量 关 系 确定性关系 确定的函数关系 相关关系 存在相依关系,但未达到相 互确定的程度. 两 类 数 据 已知规律(函数)的测试数据(在特定时 间点或距离上的数据) 呈现随机性的数据,可看成具有某种概 率分布的随机样本值
针对两种不同类型的数据,有不同的建立 模型方法: 1.数据拟合法(适用于第一类数据) 基本思想已知函数y=f(x)的一组测试数据 (xy;),〔i=1,2 寻求一个函数v(x),使vx对上述测试数据 的误差较小,即v(x)y;,于是可以用vx)来 近似替代f(x) 常用的数据拟合方法:一般插值法、最小二 乘法、样条函数光顺法等
针对两种不同类型的数据, 有不同的建立 模型方法: 1. 数据拟合法(适用于第一类数据) 基本思想 已知函数 y= f(x) 的一组测试数据 (xi ,yi )， (i=1，2，…，n)， 寻求一个函数ψ(x)，使ψ(x)对上述测试数据 的误差较小，即ψ(xi )≈yi，于是可以用ψ(x)来 近似替代f (x). 常用的数据拟合方法：一般插值法、最小二 乘法、样条函数光顺法等
插值法的基本思想寻找fx)的近似替代函数 (x),在插值节点x上满足 qp(x;)=y;,( 9···9 其余点用q(x近似替代敢x),称@(x)为f(x)的 插值函数 Vi f(r) x
插值法的基本思想 寻找 f(x)的近似替代函数 φ(x), 在插值节点xi 上满足 φ(xi )=yi， (i=1,2,…，n)， 其余点用φ(x)近似替代f(x ), 称φ(x)为f(x)的 插值函数. f ( x) x i x i y
最小二乘法基本思想寻找f(x)的近似替代函数 q(x),使 mn ∑(f(x;)-9(x;) i=1 2.随机分析方法 对于随机数据进行拟合可用统计学中的回归 分析方法或时间序列分析方法 二.经验模型的建立 以上两种建模方法都是建立在对数据进行充分 分析的基础上
最小二乘法基本思想寻找 f (x)的近似替代函数 φ(x), 使 = − n i xi xi f 1 2 min . ( ( ) ( )) 2. 随机分析方法 对于随机数据进行拟合,可用统计学中的回归 分析方法或时间序列分析方法. 二．经验模型的建立 以上两种建模方法都是建立在对数据进行充分 分析的基础上
寻找或选择适当的函数拟合变量之间的关系 (函数关系或回归关系是重要的环节 1)绘制数据散布图 般2)分析数据散布图 见呐 步 骤3)选择函数关系形式 通过分析数据散布图可以获得对变量间关系 的感性认识,形成初步的看法,以便于对问题 做进一步的分析 2)分析数据散布图 对数据散布图进行分析可以分析出变量的 关系是:
寻找或选择适当的函数拟合变量之间的关系 (函数关系或回归关系)是重要的环节. 一 般 步 骤 1）绘制数据散布图； 2）分析数据散布图； 3）选择函数关系形式. 通过分析数据散布图可以获得对变量间关系 的感性认识, 形成初步的看法, 以便于对问题 做进一步的分析. 见 p156 2）分析数据散布图； 对数据散布图进行分析,可以分析出变量的 关系是：
1)线性的还是非线性的? 2)有无周期性? 3)呈现何种变化趋势?变化率如何? ,等等有用的初步结论 例621建立一个简洁的函数关系式来描述 某个地区人的身高和体重的对应关系数据见表 7.4(pl56) 曲线特征是体重w随身高H的增长而单调增 长,但可以观察到是非线性增长 练习试分析以下问题
1）线性的还是非线性的？ 2）有无周期性？ 3）呈现何种变化趋势？变化率如何？ …，等等有用的初步结论. 例6.2.1 建立一个简洁的函数关系式来描述 某个地区人的身高和体重的对应关系, 数据见表 7.4(p156). 曲线特征是体重W 随身高H 的增长而单调增 长，但可以观察到是非线性增长. 练习 试分析以下问题
1.氮施肥量N、磷施肥量P关于土豆产量的数 据散布图(P153例71.1) 2.海浪潮高度x随时间t的数据散布图 3)选择函数关系形式 原1形式尽可能简洁,尽可能线性化; 则2.依据实际问题的精度要求合乎实际规律 续例6.2.1选择幂函数W=cH,描述身 高体重关系 优点此函数可以线性化 两边取对数,有
1. 氮施肥量N、磷施肥量P 关于土豆产量的数 据散布图(P153例7.1.1). 2. 海浪潮高度x 随时间t 的数据散布图. 3）选择函数关系形式 原 1. 形式尽可能简洁, 尽可能线性化； 则 2. 依据实际问题的精度要求,合乎实际规律. 续例6.2.1 选择幂函数 W= , 描述身 高体重关系. a cH 优点 此函数可以线性化. 两边取对数, 有
Inw=alnhtln c 令y=hnW,x=lH,b=lnc 变换为线性函数y=ax+b. 例622可选二次函数 y=b0+ bjx+b2x 描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系 注:其中b=y(0)=1518. 关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系可选择 威布尔模型 y=A- Be 9≥0
lnW = aln H + lnc 令 y = lnW, x = ln H,b = lnc 例6.2.2 可选二次函数 注：其中 b0= y(0) = 15.18. 关于磷肥施肥量和土豆产量的变量关系可选择 威布尔模型： = − , 0 − y A Be x Kx 变换为线性函数 y = ax + b. 描述氮肥施肥量与土豆产量间的变量关系. 2 y = b0 + b1 x + b2 x