第五章机理分析建模法 机理分析是根据对现实对象特性的认识,分 析其因果关系,找出反映内部机理的规律 机理分析方法立足于揭示事物内在规律 对 *与问题相关的物理、化学、经济 现认 实识等方面的知识 对来通过对数据和现象的分析对事 象源物内在规律做出的猜想(模型假设) 模型特点:有明确的物理或现实意义
第五章 机理分析建模法 机理分析方法立足于揭示事物内在规律 机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律. 的 认 识 来 源 对 现 实 对 象 *与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识. *通过对数据和现象的分析对事 物内在规律做出的猜想(模型假设). 模型特点：有明确的物理或现实意义
51微分方程的建立 实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的 变化规律:y=y(t) 直接求 建立关于未知变量、 很困难 未知变量的导数以及 自变量的方程 建立变量能满足 哪一类问题 的微分方程
5.1 微分方程的建立 实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t). 直接求 很困难 建立关于未知变量、 未知变量的导数以及 自变量的方程 建立变量能满足 的微分方程 哪一类问题 ？
在工程实际问题中 “改变”、“变化”、“增加 减 提示我们注意什么量在变化 关键词“速率”、“增长”“衰变”,“边 际的”,常涉及到导数 常 运用已知物理定律 机理分 建利用平衡与增长式析法 分方 方法 运用微元法 程 应用分析法
在工程实际问题中 * “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”、“增长”“衰变” ，“边 际的” ，常涉及到导数. 建 立 方 法 常 用 微 分 方 程 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法 应用分析法 机理分 析法
一.运用已知物理定律 建立微分方程模型时 应用已知物理定律, 可事半功倍 例5.1.1一个较热的物体置于室温为18c的 房间内,该物体最初的温度是60,3分钟以后 降到50想知道它的温度降到30c需要多少时 间?10分钟以后它的温度是多少? 牛顿冷却(加热)定律:将温度为T的物体 放入处于常温m的介质中时,T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差
建立微分方程模型时 应用已知物理定律， 可事半功倍 例5.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差. 一 . 运用已知物理定律
分析:假设房间足够大,放入温度较低或较 高的物体时,室内温度基本不受影响,即室温分 布均衡保持为m,采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。 建立模型:设物体在冷却过程中的温度为 T(),0 “的变化速率正比于T与周围介质的温度差 翻译为、d T 与T-m成正比 数学语言
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分 布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为 与T m成正比 dt dT − 数学语言
建立微分方程 dT k(T-m), dt T(0)=60 其中参数k>0,m=18.求得一般解为 ln(T-m)=-k叶+e, 或T=m+ce t≥0 1.16 代入条件,求得c=42 321 最后得 16 T(=18+42e321,t>0
= = − − (0) 60. ( ), T k T m dt dT 建立微分方程 其中参数k >0，m=18. 求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c, 代入条件，求得c=42 ，k=－ , 最后得 21 16 ln 3 1 T(t)=18+42 , t ≥0. t e 21 16 ln 3 1 = + , 0, − T m ce t 或 kt
1.16 ln=×10 结果:T(10)=18+42e321=2587°, 该物体温度降至30c需要8.17分钟 二.利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不 变的特性,如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性,可分析和 建立有关变量间的相互关系 续例2.3人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t),除考虑个 体的出生、死亡,再进一步考虑迁入与迁出的 影响
结果 ：T(10)=18+42 =25.870 ， 10 21 16 ln 3 1 e 该物体温度降至300c 需要8.17分钟. 二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不 变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等. 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系. 续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响
在很短的时间段A内,关于P()变化的一个 最简单的模型是: {Δ时间内的人口增长量}= {△内出生人口数}-{A内死亡人口数 +{内迁入人口数}-{内迁出人口数 更般 「基本模型 {△时间内的净改变量} ={At时间内输入量}一{时间内输出量} 不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是： {Δt时间内的人口增长量}= {Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数} + {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} {Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量} 般 化 更 一 基本模型 不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程
输入量:含系统外部输入及系统内部产生的量; 输出量:含流出系统及在系统内部消亡的量. 此类建模方法的关键是 分析并正确描述基本模型的右端 使平衡式成立 例5.1.2战斗模型两方军队交战,希望为 这场战斗建立一个数学模型,应用这个模型达到 如下目的: 1.预测哪一方将获胜? 2.估计获胜的一方最后剩下多少土兵? 3.计算失败的一方开始时必须投入 多少土兵才能赢得这场战斗?
输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量. 此类建模方法的关键是 分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立 例5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为 这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到 如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入 多少士兵才能赢得这场战斗？
模型建立: 设x()-t时刻X方存活的土兵数 y()-t时刻Y方存活的士兵数 假设 1)双方所有士兵不是战死就是活着参加战 斗,x()与y()都是连续变量. 2)Y方军队的一个土兵在单位时间内杀死X 方军队a名土兵; 3)X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队b名土兵; {At时间内X军队减少的土兵数 ={At时间内Y军队消灭对方的士兵数 平衡式4p
模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数； 假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战 斗， x(t)与y(t)都是连续变量. 2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵； {Δt 时间内X军队减少的士兵数} = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 平衡式