64模型误差分析 模型误差的客观存在性 良好 希望建立的模型尽善尽美: 愿望 逼真、精确、准确、最优 能“逼真”地模拟现实系统; 能“精确”地预测系统的未来情况; 能“准确″地控制系统; 得到问题的“最优”解; 数学模型是对现实世界的理想化 不可能是真实世界的再现
6.4 模型误差分析 一．模型误差的客观存在性 希望建立的模型尽善尽美： 能“逼真”地模拟现实系统； 能“精确”地预测系统的未来情况； 能“准确”地控制系统； 得到问题的“最优”解；… 逼真、精确、准确、最优、… 良好 愿望 数学模型是对现实世界的理想化， 不可能是真实世界的再现
任何数学模型在建立和使用的过程中, 不可避免的产生模型误差 如:附加进数据测量误差,舍入误差和截断误 差等 有必要对模型误差进行分析,并给出估计 常用“绝对误差”和“相对误差”来衡量误差 大小程度: 绝对误差测量值-近似值 相对误差绝对误差测量值与数 例6.4.1用经验公式 级 y02324+0.0073’4O有关
任何数学模型在建立和使用的过程中， 不可避免的产生模型误差. 如：附加进数据测量误差，舍入误差和截断误 差等. 有必要对模型误差进行分析，并给出估计. 常用“绝对误差”和“相对误差”来衡量误差的 大小程度： 绝对误差=测量值－近似值 相对误差=绝对误差/测量值 与数 量级 有关 例6.4.1 用经验公式 , 0 0.02324 0.0073 1 + = − x e y x
作为士豆产量的近似估计公式其误差数值 列表如下(参见p168表76) 施肥量 0 24 98 196 31534.5038484120 绝对误差 196 2.03256 0.06 Vi=yi 相对误差 0.06 0.060.062 0.001 (i-Vi)/yi 问题如何评价误差数据
作为土豆产量的近似估计公式, 其误差数值 列表如下（参见p168表7.6） 0.001 0.06 41.20 196 0.062 2.56 38.48 98 －0.06 －2.03 34.50 24 相对误差 0.06 绝对误差 1.96 31.5 施肥量 0 i y ˆ i i y − y ˆ i i i ( y − y ˆ )/ y 问题 如何评价误差数据 ？
二.误差分析 数据测量误差 各类误差 截断误差 模型假设误差 1.数据测量误差 在建立模型之前应该尽量控制实验数据的 质量,使之测量准确可靠 数据带有无法消除的测量误差时,应分析它 对模型造成的影响,并对模型误差进行估计
二．误差分析 各 类 误 差 数据测量误差 截断误差 模型假设误差 1．数据测量误差 * 在建立模型之前应该尽量控制实验数据的 质量, 使之测量准确可靠. * 数据带有无法消除的测量误差时, 应分析它 对模型造成的影响, 并对模型误差进行估计
例6.4.2有高为100厘米的半球形容器中装满 了水。从某一时刻开始,水从底部一个横截面积 为1平方厘米的小孔流出,可以随时测出水面高 度h。由水力学知,水从孔口流出的流量(即通 过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率)Q, 有关系式 Q=Q(h)=0.62S2gh 其中0.62为流量系数,S是小孔口横截面积, g为重力加速度 由测出的水面高度h,可算得水流量,由仪器 所限,测出的高度值有±01厘米的误差,这会引 起水流量Q的多大误差?
例6.4.2 有高为100厘米的半球形容器中装满 了水。从某一时刻开始，水从底部一个横截面积 为1平方厘米的小孔流出，可以随时测出水面高 度h。由水力学知，水从孔口流出的流量（即通 过孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率)Q， 有关系式 Q = Q(h) = 0.62S 2gh 其中0.62为流量系数, S 是小孔口横截面积， g 为重力加速度. 由测出的水面高度h,可算得水流量, 由于仪器 所限，测出的高度值有 0.1厘米的误差，这会引 起水流量Q的多大误差？
水面高 度h有误 差Mh 100 分析水面高度误差为M,水流量误差则为 △Q=0(h+△h)-Q(h =0.62√2(h+△)-0.622gh
100 h 水面高 度h有误 差Δh 分析 水面高度误差为Δh ，水流量误差则为 = 0.62 2g(h+ h) − 0.62 2gh Q = 0(h + h) − Q(h)
=0.62√2(h+△h-√h) 在h=50厘米处代入Ah=0.1厘米可算得绝对误 差为 062√2×980(50.1-√50)≈1.93立方厘米/秒) 相对误差为 △Q0.62√2g(h+Mh-√h) △h 0622g h 在h=50厘米处的相对误差为 0.1 l≈0.000995 约为1‰ 50
= 0.62 2g( h+ h − h) 在 h=50厘米处,代入Δh=0.1厘米,可算得绝对误 差为 0.62 2980( 50.1 − 50) 1.93(立方厘米/秒) 相对误差为 1 1 0.62 2 0.62 2 ( ) − = + + − = h h g h g h h h Q Q 在h=50 厘米处的相对误差为 1 0.000995 50 0.1 1+ − 约为1‰
2.截断误差 截断误差的来源 1.用数值方法近似求解会产生截断误差 2函数近似产生截断误差; 3.计算机运算的精度误差 应分析截断误差对模型的影响 例6.43广义生日问题 个班有30名学生,他们中至少有两名同 天生日的概率p=? 30 他们生日均不同日的概率为q=305, 则p=1-q 365
2. 截断误差 截断误差的来源： 1. 用数值方法近似求解会产生截断误差； 2. 函数近似产生截断误差； 3. 计算机运算的精度误差； 应分析截断误差对模型的影响 例6.4.3 广义生日问题 一个班有30名学生, 他们中至少有两名同一 天生日的概率 p=? 他们生日均不同日的概率为 , 36530 30 P365 q = 则 p =1－q
般化后考虑下问题 f(n) x(x-1)(x-2)…(x-n+1) 1≤n≤x 求最小的整数n,使(n)≤q(给定) 解:可采用求根方法对分法 对于给定的x,fm)是单调下降函数(序列) q 当q=0.5时对不同的x,可以算出n的最小值n, 见表(P170表77)的前两列
一般化后,考虑下问题： n x x x x x x n f n n − − − + = , 1 ( 1)( 2) ( 1) ( ) 求最小的整数 n，使 f(n)≤q (给定) 对于给定的 x, f(n)是单调下降函数(序列), 解：可采用求根方法—对分法 当q=0.5时, 对不同的x, 可以算出n 的最小值n * ， 见表(P170表7.7)的前两列. q
建立满足八m-q的最小值n和之间的关系式 方法一(最小二乘法)建立经验公式为 n=0.57280+117905√x 方法二泰勒近似 建立泰勒近似公式为 n=05+y0.25-2nq)x n=0.5+√0.25+138629x 练习对两种近似求解方法,计算各个近似值的 绝对误差和相对误差 泰勒近以式的误差控制函数
建立满足f(n)≤q的最小值n * 和x 之间的关系式. 方法一（最小二乘法）建立经验公式为 n = 0.57280 +1.17905 x 建立泰勒 近似公式为 n = 0.5+ 0.25− 2(ln q)x n = 0.5+ 0.25+1.38629x 练习 对两种近似求解方法, 计算各个近似值的 绝对误差和相对误差. 方法二 泰勒近似 泰勒 近似式的误差控制函数