Chapter 特征值与特征向量小结一 K心D
Chapter 4 特征值与特征向量小结
、内容小结 1.特征值特征向量的定义与性质 2.相似矩阵的定义与性质 3矩阵可对角化的条件 4.正交矩阵的定义与性质 5.实对称矩阵特征值特征向量的性质 K心
一、内容小结 2. 相似矩阵的定义与性质 3. 矩阵可对角化的条件 1. 特征值特征向量的定义与性质 4. 正交矩阵的定义与性质 5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质
1.特征值特征向量的定义与性质 定义设4是n阶方阵,如果存在数和n维非零列向量x 使关系式 Ax=ax 成立,那末,这样的数λ称为方阵4的特征值,非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量 (1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的 (2)属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 (3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一; 个特征向量不能属于不同的特征值 K心
1. 特征值特征向量的定义与性质 . , , , , 称为 的对应于特征值 的特征向量 成立 那末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向量 使关系式 设 是 阶方阵 如果存在数 和 维非零列向量 A A x Ax x A n n x = 定义. (1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的． (2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． (3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
AE-A叫做4的特征多项式 (aE-A)叫做4的特征矩阵; nE-A=0叫做4的特征方程 (1)若λ是4的特征值则AE-A=0, r(E-4)<n,(E-A)x=O有非0解 (2)若4为E-A=0的k重根则称为1的代数重数 对应于,得(4E-A)x=O的基础解系中所含向量 的个数为n-mk(4E-A),称其为的几何重数 结论1.方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数 K心
E − A叫做A的特征多项式; (E − A)叫做A的特征矩阵; E − A = 0叫做A的特征方程. (1) , 若0是A的特征值 则0E − A = ( ) r 0E − A (0E − A)x = O 0, n, 有非0解. (2)若0为E − A = 0的k重根,则称k为0的代数重数. 的个数为 称其为 的 对应于 得 的基础解系中所含向量 0 0 0 0 ( ), , ( ) n rank E A E A x O − − − = 几何重数. 结论1. 方阵A的特征值的几何重数不超过 它的代数重数
结论2.对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素 结论3.方阵A与4的特征值相同 结论4.设n阶方阵A=(an)的特征值为气,A2,…,, 则有(1)A+2+…+n=a1+a2+…+am; (2)12…,=A 结论5.若λ是矩阵A的特征值,x是A的属于的特征 向量,则 (1)k是k4的特征值(是任意常数) (2)"是4的特征值(m是正整数) K心
结论2. 对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值 即为其主对角线上的元素. 结论3. 方阵A与A的特征值相同. 结论4. ( ) , , , , 1 2 则有 设n阶方阵 A = ai j 的特征值为 n (1) ; 1 + 2 ++ n = a11 + a22 ++ ann (2) . 12n = A 结论5. 若 是矩阵 A的特征值, x是 A的属于 的特征 向量, 则 (1) k是kA的特征值(k是任意常数). (2) 是A 的特征值(m是正整数). m m
(3)当A可逆时,x4是A的特征值 (4)当A可逆时,xA是4的特征值. (5)当/为多项式函数时,f(4)是f(4的特征值 2.相似矩阵的定义与性质 设4,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使 PAP= B 则称B是4的相似矩阵,或说矩阵A与B相似记为A~B (1)A~A (2)若A~B,则B~A (3)若A~B,B~C,则A~C; K心
(3) , . 当A可逆时 −1是A −1的特征值 (4) , . 当A可逆时 −1 A是A *的特征值 (5)当f为多项式函数时, f ()是f (A)的特征值. 2. 相似矩阵的定义与性质 , . , , , , 1 则称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相似 设 都是 阶方阵 若有可逆矩阵 使 B A A B P AP B A B n P = − 记为 A ~ B. (1) A ~ A; (2) 若A ~ B,则B ~ A; (3) 若A ~ B, B ~ C,则A ~ C;
(4)P-(4142)P=(P41P(P1A2P) (5)P-(K,A+h2A2)P=kP-lAP+k2P-A2Pi 其中k1,k2是任意常数 (6)若A~B,则A=B (7)若A~B,则4m~B (8)若A~B,则A-~B; (9)若A~B,则f(4)~f(B),其中为多项式函数; (10)若A~B,则A与B的特征值相同; (1)若4~diag(x1,,…,n), 则入,2,…,是A的n个特征值; K心
(4) ( ) ( )( ); 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = (5) ( ) ; 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 P k A k A P k P A P k P A P − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数 (6) 若A ~ B,则A = B; (7) ~ , ~ ; m m 若A B 则A B (8) ~ , ~ ; −1 −1 若A B 则A B (9) 若A ~ B,则f (A) ~ f (B),其中f为多项式函数; (10) 若A ~ B,则A与B的特征值相同; , , , ; (11) ~ ( , , , ), 1 2 1 2 则 是 的 个特征值 若 A n A diag n n
3.矩阵可对角化的条件 定理1.m阶方阵A与对角阵相似即4能对角化) 分A有n个线性无关的特征向量 结论1.若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则A与对角阵相似 结论2.n阶矩阵A与对角阵相似兮 A的每个特征值λ的几何重数等于其代数重数 结论3.实对称矩阵一定可对角化. 4.正交矩阵的定义与性质 若n阶方阵A满足AA=E,则称A为正交矩阵 K心
3. 矩阵可对角化的条件 定理1. . ( ) 有 个线性无关的特征向量 阶方阵 与对角阵相似 即 能对角化 A n n A A 结论1. 若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 则A与对角阵相似. 结论2. 的每个特征值 的几何重数等于其代数重数. 阶矩阵 与对角阵相似 A i n A 结论3. 实对称矩阵一定可对角化. 4. 正交矩阵的定义与性质 若n阶方阵 A满足 AA = E,则称 A为正交矩阵
(1)A=±1 (2)A,B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵; (3)A是正交矩阵分Ah=A; (4)A是正交矩阵台A也是正交矩阵; (5)方阵A是正交矩阵台 A的列(行向量组是正交的单位向量组 若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换 正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间 的内积及夹角. K心
(1) A = 1; (2) A, B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵; (3) ; 1 A A = A 是正交矩阵 − (4) A是正交矩阵 A也是正交矩阵; ( ) . (5) 的列 行 向量组是正交的单位向量组 方阵 是正交矩阵 A A 若P为正交矩阵, 则线性变换y=Px称为正交变换. 正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间 的内积及夹角
5.实对称矩阵特征值特征向量的性质 (1)实对称矩阵的特征值为实数 (2)实对称矩阵的特征向量为实向量 (3)实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的 (4)实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等 定理设A为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使 P AP=diag(M,.an) 其中入,…气是A的特征值 K心
5. 实对称矩阵特征值特征向量的性质 (1) 实对称矩阵的特征值为实数. (2) 实对称矩阵的特征向量为实向量. (3) 实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的. (4) 实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等. , . ( , ) , , 1 1 1 其中 是 的特征值 设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 A P AP diag A n P n n − = 定理