中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter3（3-1）线性方程组的解的结构

Chapter 3(1 线性方程组的解的结构

Chapter 3(1) 线性方程组的解的结构

A 教学要求: 1.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及 非齐次线性方程组有解的充要条件 2.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空 间的概念; 3.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 K心

教学要求： 1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及 非齐次线性方程组有解的充要条件; 2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空 间的概念; 3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念

A端氯 线性方程组的相容性 二齐次线性方程组的解的结构 非齐次线性方程组的解的结构 四齐次线性方程组的基础解系的求法 K心

一 .线性方程组的相容性 二.齐次线性方程组的解的结构 三.非齐次线性方程组的解的结构 四.齐次线性方程组的基础解系的求法

线性方程组的相容性 形如 11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 m1x1+am2x2+…+ nn 的方程组称为n个未知数m个方程的线性方程组 其中a;为方程组的系数,b为方程组的常数项 若bk=0,则方程组为齐次的 若bk≠0,则方程组为非齐次的

一 .线性方程组的相容性 形如        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 的方程组,称为n个未知数m个方程的线性方程组. 其中 为方程组的系数, 为方程组的常数项. aij bk 0, . 0, ; 若 则方程组为非齐次的 若 则方程组为齐次的  = k k b b

11 In n b 记A B= 系数矩阵 增广矩阵 b=:常数项向量x=:解向量是列向量 n ax1,a2,…,an为4的各列构成的列向量 方程组的矩阵形式:Ax=b 方程组的向量形式:x1ax1+x2a2+…+xnan=b

          = m mn n a a a a A      1 11 1 记 系数矩阵           = m mn m n a a b a a b B       1 11 1 1 增广矩阵           = bm b b  1 常数项向量           = xn x x  1 解向量是列向量 , , , . 1 2  n为A的各列构成的列向量 方程组的矩阵形式： Ax = b 方程组的向量形式： x11 + x22 ++ xnn = b

若方程组有解,则称方程组相容; 若方程组无解,则称方程组不相容; 若方程组有唯一解,则称方程组为确定方程组; 若方程组多于一个解,则称方程组为不定方程组 K

若方程组有解，则称方程组相容； 若方程组无解，则称方程组不相容； 若方程组有唯一解，则称方程组为确定方程组； 若方程组多于一个解，则称方程组为不定方程组

二齐次线性方程组的解的结构 a1x1+a12x2+…+a1nxn=0 a21+a22x2+…+a2mxn=0 amita m22 +ax=0 方程组的矩阵形式:Ax=O 方程组的向量形式:x1ax1+x2a2+…+ Cal=0 1.齐次线性方程组总有零解x=(0,0,…,0), 所以齐次线性方程组总是相容的

二.齐次线性方程组的解的结构        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     方程组的矩阵形式： Ax = O 方程组的向量形式： x11 + x22 ++ xnn = O 1. 齐次线性方程组总有零解 x = (0,0,  ,0) , 所以齐次线性方程组总是相容的

2.齐次线性方程组Ax=O有非零解的条件 由方程的向量形式xa1+x2a2+…+xnan=O可得结论 定理1.Ax=O有非零解台rmnk(A)<n. 推论.A=O只有零解台mmk(A)=n. (若A为方阵则A≠0) 3.齐次线性方程组Ax=O解的结构 (1)若51=(k1,…,kn)’,2=(l1,…,n)是Ax=O的解, 则5=51+2仍是Ax=O的解 (2)若5=(k1,…,kn)是Ax=O的解,∈R, 则仍是4x=O的解

2. 齐次线性方程组Ax=O有非零解的条件 . 由方程的向量形式x11 + x22 ++ xnn = O可得结论 定理1. Ax = O有非零解  rank(A)  n. 推论. Ax = O只有零解  rank(A) = n. (若A为方阵,则A  0) 3. 齐次线性方程组Ax=O解的结构 . (1) ( , , ) , ( , , ) , 1 2 1 1 2 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn l ln Ax O = + = =  =  =        . (2) ( , , ) , , 1 则 仍是 的解 若 是 的解 Ax O k kn Ax O R = =  =     

注意: (1)由以上两个性质可知,方程组的全体解向量 所组成的集合,对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次线 性方程组Ax=0的解空间 (2)若Ax=O有非零解,则有无穷多个解,这无穷多个 解作为向量必线性相关,从而一定有最大无关组,即 为解空间的基,这里又称为基础解系.Ax=O的通解为 这基础解系的线性组合 K

注意: (1) 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． (2)若Ax=O有非零解, 则有无穷多个解, 这无穷多个 解作为向量必线性相关, 从而一定有最大无关组, 即 为解空间的基, 这里又称为基础解系. Ax=O的通解为 这基础解系的线性组合

(3)基础解系的定义 7,2,…,m称为齐次线性方程组Ax=O的基础 解系,如果 ①m,m2,,m是4x=0的一组线性无关的解 ②4x=0的任一解都可由7h,m2,…,m线性表出 (4)如果m1,m2,,m为齐次线性方程组Ax=O 的一组基础解系,那么,Ax=O的通解可表示为 x=k11+k272+…+k1m7 其中k1,k2,…,k是任意常数 K

解系 如果 称为齐次线性方程组 的基础 , , , , 1 2  t Ax = O (3) 基础解系的定义 的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 Ax O t Ax O = = , , (4) , , , 1 2   x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2  kt是任意常数 , , , 0 ; ① 1 2  t是Ax = 的一组线性无关的解 0 , , , . ② Ax = 的任一解都可由1 2  t线性表出