中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter2 线性方程组的解的判定（5）

Chapter 2(5) 线性力组的解的判是 心

Chapter 2(5) 线性方程组的解的判定

线性方程组有解的判定条件 1.齐次线性方程组Ax=有非零解的条件 由方程的向量形式x1a1+x2a2+…+xnan=O可得结论 定理1.Ax=O有非零解兮rmk(4)<n 推论.Ax=O只有零解台rnk(A4)=n (若A为方阵则A≠0)

一、线性方程组有解的判定条件 1. 齐次线性方程组Ax=O有非零解的条件 . 由方程的向量形式x11 + x22 ++ xnn = O可得结论 定理1. Ax = O有非零解  rank(A)  n. 推论. Ax = O只有零解  rank(A) = n. (若A为方阵,则A  0)

2.非齐次线性方程组x有解的条件 问题:如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩, 讨论线性方程组Ax=b的解 定理2n元非齐次线性方程组Anx=b有解 的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩 阵B=(A,b)的秩

讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b =  = 2. 非齐次线性方程组Ax=b有解的条件

小结R(4)=R(B)=nAx=b有唯一解 R(A)=R?(B)<n兮Ax=b有无穷多解. 定义:含有个参数的方程组的任一解,称为线性 方程组的通解. 非齐次线性方程组:增广矩阵化成行阶梯形矩 阵,便可判断其是否有解。若有解,化成行最 简形矩阵,便可写出其通解;

小结 R(A)= R(B)= n  Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n  Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；

线性方程组的解法 ex1求解下列方程组 x1+2x,+3x3+3x4+7xs=0 3X1+2x2+x3+x4-3xs=0 2+2x3+2x4+6x5=0 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=0 Solution 12337 23 3 321 3 4-8 8-24 0 226 1000 5433-1 -6-12-12-36

ex1. 求解下列方程组        + + + − = + + + = + + + − = + + + + = 5 4 3 3 0 2 2 6 0 3 2 3 0 2 3 3 7 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Solution.             − − = 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 2 1 1 3 1 2 3 3 7  A             − − − − − − − − → 0 6 12 12 36 0 1 2 2 6 0 4 8 8 24 1 2 3 3 7 二、线性方程组的解法

123 32 00000 000 200 600 00000 000 runk(A)=2<5,所以原方程组有非零解 「x1=x3+x4+5 x2=-2x3-2x4-6X5 同解方程组为 4 xs=x5 K心

            → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 1 2 3 3 7             − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 1 0 1 1 5 rank(A) = 2  5, 所以原方程组有非零解. 同解方程组为          = = = = − − − = + + 5 5 4 4 3 3 2 3 4 5 1 3 4 5 2 2 6 5 x x x x x x x x x x x x x x

5 2 2 2 6 ∴x=x3|=x31|+x40|+xs 001 5 2 2 6 =k1+k20+k0=k151+k252+k353 0 0 0 1)(k,k2,k3∈R) K心

                 = 5 4 3 2 1 x x x x x x                 − = 0 0 1 2 1 3 x                 − + 0 1 0 2 1 4 x                 − + 1 0 0 6 5 5 x                 − +                 − +                 − = 1 0 0 6 5 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 k1 k2 k3 . = k11 + k2 2 + k3 3 ( , , ) k1 k2 k3  R

例2求解非齐次线性方程组 x1-2x2+3x3-x4=1, 3x1-x2+5x3-3x4=2, 2x1+x2+2x3-2x4=3 解对增广矩阵B进行初等变换, 23-1 z2-2rf1=23=11 B=3-15-32与-10 212-23乃-n2(0-00 显然,R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解

例２ 求解非齐次线性方程组      + + − = − + − = − + − = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换，           − − − − − = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 2 1 r r r r − −           − − − − − 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 3 2 r − r           − − − − 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．

例3求解非齐次方程组的通解 1-x2-x3+x4=0 x1-x2+x3-3x4=1 x1-x2-2x3+3x4=-1/ 解对增广矩阵B进行初等变换 0 B=1-11-31 002-4 1-23-12)(00-12-12

例３ 求解非齐次方程组的通解 . 2 3 1 2 3 1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4      − − + = − − + − = − − + = x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换           − − − − − − − = 1 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 B           − − − − − 0 0 1 2 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 0 ~

0-11/2 001-21/2 00000 由于R(4)=R(B)=2,故方程组有解,且有 ,=n+x 2 4 +1/2 x1=x2+x4+1/2 x,=x,+0x x2=2x4+12 3=0x2+2x4+1/2 x4=0x2+x4

. 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 ~           − − − 由于R(A) = R(B) = 2, 故方程组有解，且有    = + = + + 2 1 2 1 2 3 4 1 2 4 x x x x x        = + = + + = + = + +  4 2 4 3 2 4 2 2 4 1 2 4 0 0 2 1 2 0 1 2 x x x x x x x x x x x x