中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter3（3-2）线性方程组的求解

Chapter 3(2 线性方程组的求解

Chapter 3(2) 线性方程组的求解

路氯 教学要求: 1.掌握用初等行变换求齐次线性方程组通解的方法; 2.掌握用初等行变换求非齐次线性方程组通解 的方法; 3.正确讨论线性方程组有唯一解、无穷多解 无解的情况 K心[

教学要求： 1. 掌握用初等行变换求齐次线性方程组通解的方法; 2. 掌握用初等行变换求非齐次线性方程组通解 的方法; 3. 正确讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、 无解的情况

求解Ax=0的步骤 二.求解AX=b的步骤 K

一 .求解Ax = O的步骤 二.求解AX = b的步骤

一.求Ax=O的通解的步骤 (1)将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)当rmnk(A)=m时,方程组只有零解, 当rmnk(A)<m时,转到(3) (3)列出含有自由未知数的同解方程组; (4)将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系; (5)写出通解x=k11+k22+…+kn5nr

一. 求Ax=O的通解的步骤 (1) 将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵; (2)当rank(A) = n时,方程组只有零解, 当rank(A)  n时,转到(3) (3) 列出含有自由未知数的同解方程组; (4) 将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系; (5) . 写出通解x = k1  1 + k2  2 ++ kn−r  n−r

ex1.求解下列方程组 +3x 2 2x3+xA=0 2x1+6x2-2x3+x4=0 1-3x2+x3 3A=0 3x1+9x2-4x3+x4=0 Solution 3 2 13-21 26-21 0-63-4 31 3 6入 02 39-41 000-1 rnk(4)=4,所以原方程组只有零解

ex1. 求解下列方程组        + − + = − + − = + − + = + − + = 3 9 4 0 3 3 0 2 6 2 0 3 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x Solution.             − − − − − = 3 9 4 1 1 3 1 3 2 6 2 1 1 3 2 1  A             − − − − − ⎯⎯→ 0 0 0 1 0 0 2 1 0 6 3 4 1 3 2 1 行 rank(A)=4，所以原方程组只有零解

ex2.求解下列方程组 x1+2x,+3x3+3x4+7x5=0 3x1+2x2+x3+x4-3x5=0 2+2x3+2x4+6x5=0 5x1+4x,+3x3+3x4-x5=0 Solution 12337 123 3 32 1-3 0-4-8-8-24 0122 5433-1 0-6-12-12-36

ex2. 求解下列方程组        + + + − = + + + = + + + − = + + + + = 5 4 3 3 0 2 2 6 0 3 2 3 0 2 3 3 7 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Solution.             − − = 5 4 3 3 1 0 1 2 2 6 3 2 1 1 3 1 2 3 3 7  A             − − − − − − − − → 0 6 12 12 36 0 1 2 2 6 0 4 8 8 24 1 2 3 3 7

3 10-1 0 26 01226 00 3200 00 00000 00 00 00000 runk(A)=2<5,所以原方程组有非零解 同解方程组为 1=x3+x4+5xs 2 ixa-2x-6x 3 4 法1. 3 11[11「5 取 4 0 0得 6 5

            → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 1 2 3 3 7             − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 6 1 0 1 1 5 rank(A) = 2  5, 所以原方程组有非零解. 同解方程组为    = − − − = + + 2 3 4 5 1 3 4 5 2 2 6 5 x x x x x x x x 法1. , 0 0 1 5 4 3           =           x x x 取 , 0 1 0                     1 0 0 , 2 1 2 1       − =      x x 得 , 2 1       −       − 6 5

5 2 6 51=1,2=053=0 0 0 0 所求通解为x=k1+k22+k353 (k1,k2,k3为任意常数) 法2. 1=x3+x4+5x 5 2. 2x4-6r 4 5 由简化后的方程组得 4 5

, 0 0 1 2 1 1                 −  = , 0 1 0 2 1 2                 −  = . 1 0 0 6 5 3                 −  = ( , , ). , 1 2 3 1 1 2 2 3 3 为任意常数 所求通解为 k k k  x = k  + k  + k  法2. 由简化后的方程组得          = = = = − − − = + + 5 5 4 4 3 3 2 3 4 5 1 3 4 5 2 2 6 5 x x x x x x x x x x x x x x

5 2 2 6 ∴x=x3|=x31+x40+xs0 0 0 5 2 6 =h11+k20|+k30=k151+k252+k353 0 1(41,k2,k3∈R)

                 = 5 4 3 2 1 x x x x x x                 − = 0 0 1 2 1 3 x                 − + 0 1 0 2 1 4 x                 − + 1 0 0 6 5 5 x                 − +                 − +                 − = 1 0 0 6 5 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 k1 k2 k3 . = k11 + k2 2 + k3 3 ( , , ) k1 k2 k3  R

ex3.设有方程组 (-2)x1-2x2+2x3=0 2x1+(-5)x2+4x3=0 2x1+4x2+(-5)x3=0 当入为何值时,齐次线性方程组有非零解? 有非零解时,求出通解及基础解系 Solution -2 42-5 24-54 24-54 2 42-5 -2-22

ex3. 设有方程组      + + − = − + − + = − − + = 2 4 ( 5) 0 2 ( 5) 4 0 ( 2) 2 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x    当为何值时, 齐次线性方程组有非零解？ 有非零解时, 求出通解及基础解系. Solution.           − − − − − = 2 4 5 2 5 4 2 2 2     A           − − − − − → 2 2 2 2 5 4 2 4 5   