Chapter 2 重积分小结 K心D
Chapter 2 重积分小结
第一部分:内容小结 二重积分 定义:∫f(x,y)do=im∑f(5,m)△a 几何意义:f(x,y)≥0时,f(x,y)为体积 f(x,y)<Q时,(x,)d为体积但本身值为负 D 故∫f(x,y)d表示曲顶柱体体积的代数和 D K心
第一部分: 内容小结 一. 二重积分 定义: ( , ) lim ( , ) . 1 0 → = = n i i i i D f x y d f 几何意义： ( , ) 0时, ( , ) 为体积; D f x y f x y dxdy ( , ) 0时, ( , ) 为体积,但本身值为负; D f x y f x y dxdy 故 ( , ) 表示曲顶柱体体积的代数和. D f x y dxdy
二重积分的性质: 性质1.』0(x,y)d=小∫∫(x,y)do(k为常数 D 性质2.J(x,y)±g(x,y)do D =(x,yda±∫g(x,y)da 性质3对区域具有可加性(D=D1+D2) ∫j(x,y)da=f(x,y)da+∫j(x,y)da 性质.若a为D的面积,=1=o K心
二重积分的性质: 性质1. kf (x, y)d k f (x, y)d (k为常数). D D = 性质2. D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) . = D D f x y d g x y d 性质3. 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + D D D f x y d f x y d f x y d ( ) D = D1 + D2 性质4. 若 为D的面积， 1 . = = D D d d
性质5.若在D上∫(x,y)≤g(x,y) 则∫f(x,y)das!g(x,y)do 特殊地』(x, doff(x,pda 性质6.设M、m分别是∫(x,y)在闭区域D上的 最大值和最小值,o为D的面积,则 ms∫f(x,y)do≤M(二重积分估值不等式) 性质7.设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ为D 的面积,则在D上至少存在一点(5,)使得 ∫f(x,y)d=f(4,n)a (二重积分中值定理) K心
性质5. 若在D上 f (x, y) g(x, y), ( , ) ( , ) . D D 则 f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) . D D f x y d f x y d 性质 6. 设M、m 分别是 f (x, y)在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 为 D 的面积，则 D m f (x, y)d M （二重积分估值不等式） 性质7. 设函数 f (x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( ,)使得 （二重积分中值定理） f (x, y)d = f ( ,) D
二重积分的计算:1.在直角坐标下有: D为x-型区域时:g1(x)≤y≤g2(x),a≤x≤b ∫(xy)=a(y(xyp D D为y-型区域时,v1(y)≤x≤v2(y),c≤y≤d ∫(x,yd=2d((x,ydk 计算二重积分的步骤: (1)画区域图; (2)列出x型或y型区域的不等式表示; (3)计算二次积分 (若一种次序积不出来时,换另一种次序 K心
二重积分的计算: D为x −型区域时:1 (x) y 2 (x),a x b = ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) x x b a D f x y d dx f x y dy D为y −型区域时,1 ( y) x 2 ( y),c y d = D d c y y f x y d dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) 计算二重积分的步骤： (1) 画区域图; (2) 列出x型或y型区域的不等式表示; (3) 计算二次积分 (若一种次序积不出来时, 换另一种次序). 1. 在直角坐标下有:
2在极坐标下有: ∫f(x,y)do=』(rcos,rsiO)rrd0 极坐标下的二重积分可用二次积分来计算 (1)若D:g1(0)≤r≤q2(O),a≤0≤B,则 (e) r=q1(6 02( D r=1(Q f f(rcos r sin O)rdrde=re derp(e)f(rcos e,rsin O)rdr
2.在极坐标下有: = D D f (x, y)d f (r cos ,rsin )rdrd 极坐标下的二重积分可用二次积分来计算 (1)若D :1 ( ) r 2 ( ), ,则 o x ( ) r = 2 ( ) r = 1 x D o ( ) r = 1 ( ) 2 r = x o D = ( ) ( ) 2 1 f (r cos ,rsin )rdrd d f (r cos ,rsin )rdr D
(2)若D:0≤r≤p(0),c≤≤B,则 qp(6) ∫ f(rcos 6, rsin O)rdrd8 D re depot)f(rcos 8 singra (3)此时D:0≤r≤q(0,0≤0≤2m,且 Oy(0) ∫ f(rcos(, rsin 6) )rare D fo defo f(rcos e, sino)rdr K心
(2)若D : 0 r ( ), ,则 x o D r = ( ) = ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) d f r r rdr f r r rdrd D D o x r = ( ) (3)此时D : 0 r ( ),0 2 ,且 = 2 0 ( ) 0 ( cos , sin ) ( cos , sin ) d f r r rdr f r r rdrd D
(4)此时D:q1()sr≤q2(0,0≤0≤2m,且 r=q1() f(rcos 8, rsin O)rdrde q2(6) 0 dorp( 2丌 pi(e)J(rcos O, rsin O)rdr 要点与步骤: (1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐 标计算; (2)极坐标适用于圆圆环,扇形区域以及被积函数含 有x2+y2等; (3)画区域图,列出θ型区域,写成极坐标下的二次积分 K心
o x ( ) r = 1 ( ) r = 2 (4)此时D :1 ( ) r 2 ( ),0 2 ,且 = 2 0 ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) ( cos , sin ) d f r r rdr f r r rdrd D 要点与步骤: (1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐 标计算; ; (2) , , 有 2 2等 极坐标适用于圆 圆环 扇形区域以及被积函数含 x + y (3) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的二次积分
3利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分 (1)若D关于y轴对称,则 2』∫(x,y)f(-x,y)=∫(x, f(x, y)dxdy f(-x,y)=-f(x,y) (2)若D关于x轴对称,则 ∫(x,y)ddf(x,-y)=f(x ∫(x,y)td={0 D 0 f(x,-y)=-∫(X,y) K心
3.利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分 − = − − = = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1) , f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy D y D D 右 若 关于 轴对称 则 − = − − = = 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2) , f x y f x y f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy D x D D 上 若 关于 轴对称 则
4.利用换元法计算二重积分 设x=x(u,),y=y(u,v)具有一阶连续偏导, ax ax 且雅可比式J(u,v) a(x,y)au at d(u, v)a a,/×0 au av D.<二对应,D 则盯f(x,y)y=』1x(u,"),y(x,)J(u,)db K心
4.利用换元法计算二重积分 设x = x(u, v), y = y(u, v)具有一阶连续偏导, 0, ( , ) ( , ) ( , ) = = v y u y v x u x u v x y 且雅可比式J u v ( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . = Dxy Duv 则 f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv , Dxy ⎯⎯⎯→ Duv 一一对应