Chapter 4(1) 类曲线积分
Chapter 4(1) 第一类曲线积分
教学要求: 1.理解I型(对弧长的)曲线积分的概念和性质; 2.掌握计算第一类曲线积分的方法 3.了解第一类曲线积分的应用 K<DD
教学要求： 1. 理解I型(对弧长的)曲线积分的概念和性质; 2. 掌握计算第一类曲线积分的方法; 3. 了解第一类曲线积分的应用
引例与概念 二性质 对弧长的曲线积分的计算 四对弧长的曲线积分的应用 K
一 .引例与概念 二.性质 三.对弧长的曲线积分的计算 四.对弧长的曲线积分的应用
引例与概念 引例1设有线密度为0(x,y)的非均匀平面曲线形 构件L,求其质量 Solution B L M 分割,M1,M2,…,Mn-1→As;, (5,n)/M1 M (5i,z)∈△s A M △m2≈P(51,nh)A; 求和,m≈∑p(41,m),△s; 近似值 取极限,m=im∑p(5,m)As,精确值 K
一 .引例与概念 引例1. , . ( , ) 构件 求其质量 设有线密度为 的非均匀平面曲线形 L x y Solution. o x y A B L 分割, , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) , i i i s ( , ) i i ( , ) ; i i i i m s 求和, ( , ) ; 1 = n i i i i m s 取极限, lim ( , ) . 1 0 → = = n i i i i m s 近似值 精确值
引例2.设有线密度为p(x,y,z)的非均匀空间曲线形 构件r,求其质量. Solution B 分割,M1,M2;…,Mn1→As L 9MM-1 (5,m,5yM M v(5;7i,5)∈△; M A M △m2≈p(5i,m,5)△s; 近似值 求和,m≈∑P(5;,m7,4)△s; 取极限,m=im∑15,你分),「精确值
引例2. , . ( , , ) 构件 求其质量 设有线密度为 的非均匀空间曲线形 x y z Solution. A B L 分割, , , , , 1 2 n 1 i M M M → s − Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , , ) , i i i i s ( , , ) ; i i i i i m s 求和, ( , , ) ; 1 = n i i i i i m s 取极限, lim ( , , ) . 1 0 → = = n i i i i i m s 近似值 精确值 o x y z ( , , ) i i i
第一类曲线积分的统一定义(形式上的定义) 设S表示曲线平面空间,是可以度量的f(P)是有界函数 (1)将S任意分划成n个小部分Δs1,…,△sn(△s;也表量度); (2)P∈△,作乘积f(P)△s1,(i=1,,m) 作和∑f(P)△s (3)记4=max{As的直径}, 1≤i0 都存在则称其为(P)在S上的第一类曲线积分 K心
第一类曲线积分的统一定义（形式上的定义） 设S表示曲线(平面,空间),是可以度量的, f (P)是有界函数, (1) , , ( ); 将S任意分划成n个小部分s1 sn si也表量度 (2) P s , f (P ) s ,(i 1, ,n) i i 作乘积 i i = ( ) ; 1 = n i i i 作和 f P s (3) max{ }, 1 记 i的直径 i n = s 如果无论对 怎样的分划, 在 上怎样的取法, i i S P s → = n i i i f P s 1 0 lim ( ) 都存在,则称其为f (P)在S上的第一类曲线积分
记为∫(P)=lim∑f(P)As →>0 S (1)若S=L,f(P)=f(x,y),则 ∫f(x,y)ds=lim∑f(5,n)△s ->0 平面曲线上对弧长的曲线积分 (2)若S=I,∫(P)=f(x,y,z),则 ∫f(x,y,z)ds=lm∑f(5,7,5)△s 空间曲线上对弧长的曲线积分
记为 ( ) lim ( ) . 1 0 → = = n i i i S f P ds f P s (1) 若S = L, f (P) = f (x, y),则 ( , ) lim ( , ) . 1 0 → = = n i i i i L f x y ds f s —平面曲线上对弧长的曲线积分 (2) 若S = , f (P) = f (x, y,z),则 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 → = = n i i i i i f x y z ds f s —空间曲线上对弧长的曲线积分
注意: (1)当∫(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线 积分f(x,y)d存在 (2)曲线型构件的质量m=P(x,y)ds m=p(x, y, z)ds (3)若L为封闭曲线则记为f(x,y)d 若为封闭曲线则记为nf(x,,z (4)△s;>0.对弧长的曲线积分与路径的走向无关!
注意: ( , ) . (1) ( , ) , 积分 存在 当 在光滑曲线弧 上连续时 对弧长的曲线 L f x y ds f x y L (2) ( , ) . = L 曲线型构件的质量 m x y ds ( , , ) . m = x y z ds (3) , ( , ) . L 若L为封闭曲线 则记为 f x y ds , ( , , ) . 若为封闭曲线 则记为 f x y z ds (4) 0. i s 对弧长的曲线积分与路径的走向无关!
二.性质 (1)If(x,y)±g(x,y)d=,f(x,y)d±,g(x,y)ds L (2)「f(x,y)ds=k,f(x,y)d(k为常数) L L (3)f(x,)d=J.(xy+f(x,y)d (L=L1+L2) O LRf(, y) AB Ba f(x, y)ds. (5)s L K
二.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2 (4) ( , ) ( , ) . AB = BA f x y ds f x y ds (5) . = L s ds
三对弧长的曲线积分的计算 1.直接计算法 定理1(1)设f(x,y)在L上连续, (2)L的参数方程为x=p(, (ast≤B) y=y(t), (3)(t),v()在a,B上具有一阶连续导数,且 q2(t)+y2(t)≠0, 则』f(x,y)d=1y(,()g2(+v2(tr (a0..△t:>0
三.对弧长的曲线积分的计算 定理1. (1)设 f (x, y)在L上连续, ( ), ( ), ( ), (2) = = t y t x t L的参数方程为 ( ) ( ) 0, (3) ( ), ( ) [ , ] , 2 2 t + t t t 在 上具有一阶连续导数 且 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2 = + f x y ds f t t t t dt 则 L 注意: (1)积分下限 一定小于上限; 0, 0. i i s t 1. 直接计算法
