Chapter 4(4 类曲面积分
Chapter 4(4) 第一类曲面积分
教学要求: 1.理解第一类(对面积的曲面积分的概念和性质; 2.掌握计算第一类曲面积分的方法; 3.了解第一类曲面积分的应用 K<DD
教学要求： 1. 理解第一类(对面积的)曲面积分的概念和性质; 2. 掌握计算第一类曲面积分的方法; 3. 了解第一类曲面积分的应用
一.引例与概念 二.性质 对面积的曲面积分的计算 四.对面积的曲面积分的应用 K心
一 .引例与概念 二.性质 三.对面积的曲面积分的计算 四.对面积的曲面积分的应用
引例与概念 引例.设有面密度为p(x,y,z)的非均匀光滑曲面形 构件Σ,求其质量 Solution 分割,用一族曲面将分割→△S,k(5 v(5;7i,5)∈△S, J △m2≈p(5i,7,5)·△S 近似值」 求和,m≈∑p(5;,m,5)AS; i=1 精确值 取极限,m=lim∑p(5,m;5)△S ->0 K心
引例. , . ( , , ) 构件 求其质量 设有面密度为 的非均匀光滑曲面形 x y z Solution. o x y z 分割, , , 用一族曲面将分割 → Si ( , , ) , i i i Si ( , , ) i i i ( , , ) ; mi i i i Si 求和, ( , , ) ; 1 = n i m i i i Si 取极限, lim ( , , ) . 1 0 → = = n i m i i i Si 近似值 精确值 一 .引例与概念
第一类曲面积分的定义 设∑表示曲面是可以度量的f(x,y,z)是有界函数 (1)将∑任意分划成n个小部分△S1,…,△Sn(△S也表量度); (2)(41,mh,)∈△S,作乘积f(41,mh,f5)△S1,(i=1,…,n) 作和∑f(5,;,5)△S (3)记=max{△AS的直径}, 10 都存在,则称其为f(x,yz)在Σ上的曲面积分 K心
第一类曲面积分的定义 设表示曲面,是可以度量的, f (x, y,z)是有界函数, (1) , , ( ); 将任意分划成n个小部分S1 Sn Si也表量度 (2) ( , , ) S , f ( , , ) S ,(i 1, ,n) i i i i 作乘积 i i i i = ( , , ) ; 1 = n i i i i Si 作和 f (3) max{ }, 1 记 i的直径 i n = S 如果无论对 怎样的分划,( , , )在 上怎样的取法, i i i Si → = n i i i i Si f 1 0 lim ( , , ) 都存在,则称其为f (x, y,z)在上的曲面积分
记为f(x,y,2)S=im∑f(5,5)AS - ∑ 注意: (1)当f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续时,对面积的曲面 积分2f(x,y,2)S存在 (2)曲面型构件的质量m=p(x,y,l△ (3)若Σ为封闭曲面,则记为f(x,y,)dS (4)△S>0.第一类曲面积分与曲面的方向无关! K心
记为 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 → = = n i i i i Si f x y z dS f 注意: ( , , ) . (1) ( , , ) , 积分 存在 当 在光滑曲面 上连续时 对面积的曲面 f x y z dS f x y z (2) ( , , ) . 曲面型构件的质量 m = x y z dS (3) , ( , , ) . 若为封闭曲面 则记为 f x y z dS (4) 0. Si 第一类曲面积分与曲面的方向无关!
二.性质 (1)f(x,y)+g(x,y)S=f(x,y)S+5g(x,y)S (2)0y(x,y)s=k2(x,y)dS(k为常数 (3)3f(, y)dS=5. f(x,y )dS +55.f(x,y )ds CΣ=21+22) (4)S d K心
二.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . f x y g x y dS = f x y dS g x y dS (2) kf (x, y)dS k f (x, y)dS (k为常数). = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 f x y dS = f x y dS + f x y dS ( ). = 1 + 2 (4) . S = dS
三对面积的曲面积分的计算 K心[ 1.直接计算法 定理2.(1)设有光滑曲面Σ:z=x(x,y(x,y)∈Dy, (2)f(x,y,z)在Σ上连续, 则∫/(x,y,)s=』x,y,(x,1+2+2h do Proof. ds cos r d 五=土{x,p,-1 2 do 故结论成立 do
三.对面积的曲面积分的计算 1. 直接计算法 定理2. (1) : ( , ),( , ) , Dxy 设有光滑曲面 z = z x y x y (2) f (x, y,z)在上连续, ( , , ) [ , , ( , )] 1 . 2 2 = + + Dxy 则 f x y z dS f x y z x y zx z ydxdy Proof. o x y z d cos d dS = = { , ,−1} x y n z z dS zx z yd 2 2 = 1+ + 故结论成立. dS n
注意 (1)计算过程可概括为“一投影二代三换”,化为二重积分 (2)若光滑曲面为:x=x(y,z,(y,z)∈Dz 则∫f(x,y,2)S=x(x),,1+x2+:h (3)若光滑曲面为Σ:y=y(z,x),(z,x)∈D2x, 则∫f(x,y,)S=』几x,y(x,x),1+2+2d ∑ (4)一般地,向投影区域易找且面积非0的坐标面投影 K心
(2) : ( , ),( , ) , Dyz 若光滑曲面为 x = x y z y z ( , , ) [ ( , ), , ] 1 . 2 2 = + + Dyz 则 f x y z dS f x y z y z xy xz dydz 注意: (1) 计算过程可概括为“一投影二代三换” , 化为二重积分. (3) : ( , ),( , ) , x Dzx 若光滑曲面为 y = y z x z ( , , ) [ , ( , ), ] 1 . 2 2 = + + Dzx 则 f x y z dS f x y z x z yx yz dzdx (4) 一般地, 向投影区域易找且面积非 0 的坐标面投影
e1计算3,2是半球面z=a2-x2-y2在圆锥面 ∑ z=√x2+y2里的部分 Solution. 2: =Vaf-x-y 2 2 2 2 2 2 x -y x-y 20 1+z+z= x+y≤ 2 2,D 2,回 0 ∫2as=』(2-x2-y2)22 3 -元 ∑ D a -x 8 S a(a-x2-y2)dxdy=Jo dero a(a-22)rdr
1. , ex 计算z 3 dS 是半球面z = a 2 − x 2 − y 2在圆锥面 Solution. y z o x : , 2 2 2 z = a − x − y , 2 2 2 a x y x zx − − − = , 2 2 2 a x y y z y − − − = 1 , 2 2 2 2 2 2 a x y a z z x y − − + + = , 0 : 2 2 2 2 = + z a x y Dxy = z dS 3 Dxy 2 3 ( ) 2 2 2 a − x − y dxdy a x y a 2 2 2 − − = − − Dxy a(a x y )dxdy 2 2 2 = − 2 0 2 2 2 0 ( ) a d a a r rdr . 8 3 5 = a . z = x 2 + y 2里的部分
