中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter2（5）重积分的应用

Chapter 17(4 重积分的应用

Chapter 17(4) 重积分的应用

教学要求: 1.会用重积分求一些几何量与物理量 平面图形的面积、立体体积、曲面的面积、 质量、重心、转动惯量. K<DD

教学要求： 1. 会用重积分求一些几何量与物理量—— 平面图形的面积、立体体积、曲面的面积、 质量、重心、转动惯量

平面区域D的面积 空间立体Ω的体积 三曲面的面积 四.质量 五.重心 六转动惯量 七万有引力 K心

一 .平面区域D的面积 二.空间立体的体积 四.质量 五.重心 六.转动惯量 七.万有引力 三.曲面的面积

一.平面区域D的面积 =』do=J rare D D ex1计算y=a2及x+y=3a(a>0用围成图形的面积 Solution 5a 2a) 2 jdo=a』 D (2a 2 5∠x 2 15 Ddx =(-2In 2)a 8 K心

一 .平面区域D的面积 =  D  d =  D rdrd ( 0) . 2 5 1. ex 计算xy = a 2及x + y = a a  围成图形的面积 Solution. x y o ) 2 (2 , a a ,2 ) 2 ( a a =  D  d =  a a dx 2 2  −x a x a 2 dy 5 2 =  − − a a dx x a x 2 a 2 2 ) 2 5 ( 2ln2) . 8 15 ( 2 = − a

e2计算r=3c圾及r=1+cos铺围成图形的公共部分 的面积 3 Solution 2 元 D1={(r,6)0≤r≤1+c0s6,0≤6≤ 元 D2={(r,6)0≤r≤3c0s6,≤6≤ 2 a=2(jdo+∫do)=2(r+』rrlb) 元 1+cose cost 5 =2(3d0 rdr+2d0 元。 0 K心

. 2. 3cos 1 cos 的面积 ex 计算r = 及r = + 围成图形的公共部分 Solution. o x ) 3 , 2 3 (  } 3 1 {( , ) | 0 1 cos ,0  D = r   r  +     } 3 2 {( , ) | 0 3cos , 2    D = r   r     2( ) 1 2 =  +  D D  d d 2( ) 1 2 =  +  D D rdrd rdrd   + =    1 cos 0 3 0 2( d rdr ) 3cos 0 2 3 +      d rdr . 4 5 = 

二空间立体Q的体积V=∫lh 5JZ1-32dxdy=Jfi(x, y)-f2(x, y)dxc y ex3计算由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成 的立体体积 Solution.立体在xoy面上的投影区域为 D:x2+y2≤2 6-2x2-y2)-(x2+2y2)xhy D 16-3(x2+y2)xay (6-3rrdrd6 D D 2丌 6n(6-3r2)rt=6兀 K心

二.空间立体的体积 =  − =  − Dxy Dxy V z z dxdy f (x, y) f (x, y)dxdy 1 2 1 2   V = dv . 3. 2 6 2 2 2 2 2 的立体体积 ex 计算由曲面z = x + y 及z = − x − y 所围成 Solution. o x y z 立体在xoy面上的投影区域为: : 2, 2 2 D x + y  =  − − − + D V [(6 2x y ) (x 2y )]dxdy 2 2 2 2 =  − + D [6 3(x y )]dxdy 2 2 =  − D (6 3r )rdrd 2 =   − 2 0 2 2 0 d (6 3r )rdr   = 6

ex4.求曲面x2+y2+z22a2与z≥、x2+y 所围成的立体体积 Solution :0≤p≤√2a, 0≤qs 0≤b≤2丌, Q p sin dodge=[del doy 0 0 p sin ppap =2π4sinq (√2a 丌(√2-1)a 0 3 K心

ex4. 求曲面 2 2 2 2 x + y + z  2a 与 2 2 z  x + y 所围 成的立体体积. Solution. x y z 0    2 , , 4 0      : 0    2a,   V = dxdydz =    a d d d 2 0 2 0 2 0 sin 4          =  4   0 3 3 ( 2 ) 2 sin d a ( 2 1) . 3 4 3 =  − a   =  sinddd 2

ex5.穿过半径为4厘米的铜球的中心,钻一个半径为 1厘米的圆孔,问损失掉的铜的体积铜以球直径 为中心对称轴 Solution.球面方程为x2+y2+z2=42 所考察立体Ω在xo面上的投影区域为: D:x2+y2≤1 ∫h= firdrdedz Q 2兀 16 delre 6 =(64-15√15) 3 K心

ex5. 穿过半径为4厘米的铜球的中心，钻一个半径为 1厘米的圆孔，问损失掉的铜的体积.(铜以球直径 为中心对称轴). Solution. o x y z 2 2 2 2 球面方程为 x + y + z = 4 所考察立体在xoy面上的投影区域为: : 1 2 2 D x + y    V = dv   = rdrddz    − − − = 2 2 16 16 1 0 2 0 r r d rdr dz   (64 15 15). 3 4 =  −

三曲面的面积 1.设曲面方程为z=f(x,y),它在xoy面上的投影区域 为D,且f(x,y)在Dx上具有连续偏导,求曲面面积A. 如图,设小区域do∈D, dA 点(x,y) Σ为S上过M(x,y,f(x,y) (x,y) 的切平面 do 以d边界为准线,母线平行于z轴的小 柱面,截曲面s为ds;截切平面∑为dA, 则有dA≈dls K心

三.曲面的面积 , ( , ) , . 1. ( , ), D f x y D A z f x y xoy 为 x y 且 在 x y上具有连续偏导 求曲面面积 设曲面方程为 = 它在 面上的投影区域 设小区域 d  D, 点(x, y) d , . ( , , ( , )) 的切平面  为 S 上过 M x y f x y dA ds. s ds dA d z    则有 柱面，截曲面 为 ；截切平面 为 ， 以 边界为准线，母线平行于 轴的小 如图， d (x, y) M dA x y z s  o 

da为l4在xoy面上的投影, ∴dσ=dA·cosy, cos y 2 1+f2+f d4=1+f2+f2lo曲面S的面积元素 A=∫1+f2+f,ld D 曲面面积公式为:A=1+()2+(6)cdy ax K心

d 为dA 在 xoy 面上的投影, d = dA cos , , 1 1 cos 2 2 x y + f + f   = dA = + f x + f y d 2 2 1 1 , 2 2   = + + D A f x f y d 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： dxdy y z x z A Dxy    +   = + 2 2 1 ( ) ( )