Chapter 43 书 Green公式及应用
Chapter 4(3) Green公式及应用
教学要求: 1.掌握 Green公式; 2.会运用平面曲线积分与路径无关的条件 3.会求全微分的原函数; K<DD
教学要求： 1. 掌握Green公式; 2. 会运用平面曲线积分与路径无关的条件; 3. 会求全微分的原函数;
Green公式 二曲线积分与路径无关的条件 K
一 .Green公式 二.曲线积分与路径无关的条件
一. Green公式 Green公式叙述了曲线积分与二重积分的关系 1.单连通区域 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区 域,否则称为复连通区域 D D 复连通区域 单连通区域(D○ D
一 .Green公式 Green公式叙述了曲线积分与二重积分的关系. 1. 单连通区域 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D D D •
单连通区域——不含有“洞”或“点洞”; 复连通区域——含有“洞”或“点洞”; 2.D的边界曲线L的正向规定 当观察者沿L的正向行走时,区域D内离他近处的那 部分总在他的左边 D D
单连通区域——不含有“洞”或“点洞”; 复连通区域——含有“洞”或“点洞”; 2. D的边界曲线L的正向规定 当观察者沿 L 的正向行走时, 区域 D 内离他近处的那 一部分总在他的左边. D D
3. Green公式 定理设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数,则 ∫Px+gdy=∫ oo aP )xc’, ax ay 或(Pc.+0s=-0)Mh 其中L为D的取正向的边界曲线 cosa,cOs为L的切向量的方向余弦 Proof.根据D的不同形状,分三种情况进行讨论 (1)D既是x-型区域又是y-型区域, K心
3. Green公式 定理 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, P(x, y),Q(x, y)在D上有一阶连续偏导数,则 ( ) , − + = L D dxdy y P x Q Pdx Qdy ( cos cos ) ( ) . − + = L D dxdy y P x Q 或 P Q ds 其中L为D的取正向的边界曲线, cos,cos 为L的切向量的方向余弦. Proof. 根据D的不同形状, 分三种情况进行讨论. (1) D既是x −型区域又是y −型区域
D={(x,y)q1(x)≤y≤q2(x), y=p,(x) a<xsb x=y(y D B D={(x,y)v1(y)≤x≤v2(y) xiv() c≤y≤a Cy=p(r) b 00 ∫d=4 2(y)0Q ax v1(y)ax dx=(Olv2(v),yl-Olv,(),y1)dy L 2lv2(),yldy-L2lv,(), yldy C L o(, y)dy Q(x,y)+」Q(x,y)y CBE =v2(y)yp-gowv(y)y图四
y x o a b D cd ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B C E ( ) 2 x = y ( ) 1 } x = y {( , ) | ( ) ( ), 1 2 a x b D x y x y x = } {( , ) | ( ) ( ), 1 2 c y d D x y y x y = dx xQ dxdy dy xQ yy dc D = ( ) ( ) 21 = − dc {Q[ ( y), y] Q[ ( y), y]}dy 2 1 = − dc dc Q[ ( y), y]dy Q[ ( y), y]dy 2 1 LQ(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = dc Q[ ( y), y]dy 2 − dc Q[ ( y), y]dy 1
00 dxdy=h, 2(x, y)dy ax 同理可证-,小=P(xy D 两式相加得 oo aP )dxdy=t Pdx+ody (2)D由一条分段光滑的闭曲线围成, D 将D分成三个既是X型又是 Y一型的区域D1,D2,D3 a0 aP )x= a0 aP )dxdy D1+D,+D. ax ay
= L D dxdy Q x y dy xQ ( , ) 同理可证 ( , ) . = − L D dxdy P x y dx yP 两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) (2) D由一条分段光滑的闭曲线围成, 将D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 . L L1 L2 L3 D D 1 D 2 D 3 + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ
00 aP 00 oP )d+ 00 aP Ddxdy+ ax a ax ay ax a f, Pdx+@dy+, Pdx+Ody+fPdx+ody =.Pdx+d(L1.2,l2对D来说为正方向) (3)D为复连通域, o aP )dxdy D s ax dj A ++|++|+ AB BAJAFCJCE 「+」[。}(Pdx+Qd)
− + − + − = 1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ dxdy yP xQ = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy = + L Pdx Qdy ( , ) L1,L2 L3对D来说为正方向 (3) D为复连通域, GD L3 L2 F C E L1 A 由 B (2)知 − D dxdy yP xQ ( ) = + + + + AB L 2 BA AFC CE { + + + + L EC CGA} (Pdx Qdy) 3
=(,++,Pdc+Qd) 「Pd+Qd(L1L2,L对D来说为正方向) 注意: (1)便于记忆形式:∫Px+Q= ax Oydxdy DP Q (2)当边界曲线取反方向时,Gren公式中二重积分符号 前添“一”号! (3)应用 Green公式条件缺一不可 K
= + + + 2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy = + L Pdx Qdy ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向 注意: (1)便于记忆形式: + = L D dxdy P Q Pdx Qdy x y (2)当边界曲线取反方向时,Green公式中二重积分符号 前添“−”号! (3)应用Green公式条件缺一不可