中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter2（4）重积分的换元法

Chapter 2(4) 重积分的换元法

Chapter 2(4) 重积分的换元法

教学要求: 1.了解二重积分与三重积分的换元计算方法 K<DD

教学要求： 1. 了解二重积分与三重积分的换元计算方法

利用换元法计算二重秋 利用换元法计算三重粉 K

一 .利用换元法计算二重积分 二.利用换元法计算三重积分

利用换元法计算二重粉分 设x=x(u,v),y=y(,v)具有一阶连续偏导, ax ax 且雅可比式/(u,v)= a(x,y) Qn≠0, d(u,v) au av 对应 →D uy2 则∫f(x,y)cd=∫几1x(u,,y(,)/(,)dch

一 .利用换元法计算二重积分 设x = x(u, v), y = y(u, v)具有一阶连续偏导, 0, ( , ) ( , ) ( , )          =   = v y u y v x u x u v x y 且雅可比式J u v ( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) .  =  Dxy Duv 则 f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv , Dxy ⎯⎯⎯→ Duv 一一对应

y=x el计算』∫ed,其中D由x轴、y轴和直 线x+y=2所围成的闭区域 Solution. u=y-x,v=y+x, 则x y-l v+u J 2 2 a(x, y) 22 = (l2y) 2 22

Solution. 线 所围成的闭区域． 计算 其中 由 轴、 轴和直 2 1. , + =  + − x y ex e dxdy D x y D y x y x 令 u = y − x, v = y + x, . 2 , 2 v u y v u x + = − 则 = ( , ) ( , ) u v x y J   = , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − =

D→>D,即x=0→u=v; y=0→>=-v x+y=2 x+y=2→ν=2 D 故』e+dpy=」』e D D L dvl e du 2 L 2 (e-e )vdv=e-e-I

D → D , D x y o x + y = 2 2 2. 0 ; 0 ; + = → = = → = − = → = x y v y u v 即 x u v D u v o u = −v u = v v = 2 2 1    + − = − D v u D y x y x 故 e dxdy e dudv  − = v v v u dv e du 2 0 2 1  − = − 2 0 1 ( ) 2 1 e e vdv . −1 = e − e

er2计算二重积分x2y2dd,其中D是由xy=1, D xy=2,y=x,y=4x所围成的第一象限内的区域 Solution.令=xy, L =√Lv u 则J(u,v) 2√wν2 L 2v 2 2 ∫xy2h=2hh=2),h=3m2 2V 2v 3 v

u v o 2, , 4 . 2. , 1, 2 2 所围成的第一象限内的区域 计算二重积分 其中 是由 xy y x y x ex x y dxdy D xy D = = =  = Solution. 令u = xy, , x y v =      = =  y uv v u x , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) 3 v v u u v v u uv J u v = − 则 = 1 2 1 4  =  D Duv dudv v x y dxdy u 2 2 2 2 1 =   4 1 2 1 2 2 1 dv v u du ln 2. 3 7 =

二利用换元法计算三重秋 设x=x(l,v,w),y=y(u,v,v),z=z(u,v,w)具有一阶 连续偏导, ax a xuy xy a0 且雅可比式J(n,v,w) a(x,y,z)a ay a o(u,v, w) au av a,/≠0, oz a az 对应 xyz 则∫∫(x,y,)dc小 JSfIx(u,v, w),y(u,, w), (u,, w)J(u,v, w)dudvdw

二.利用换元法计算三重积分 , ( , , ), ( , , ), ( , , ) 连续偏导 设x = x u v w y = y u v w z = z u v w 具有一阶 0, ( , , ) ( , , ) ( , , )                    =   = w z v z v z w y v y u y w x v x u x u v w x y z 且雅可比式J u v w [ ( , , ), ( , , ), ( , , )] ( , , ) . ( , , ) f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdw f x y z dxdydz     则 = , xyz uvw  ⎯⎯⎯→  一一对应

2 2 2 2 e3计算∫2+12+2h其中为+12+2≤L Solution. x=apsin cos 8 0≤p≤1 设{y= bp sin sin0则9:10≤g≤兀 Z=cp cos p 0≤6<2丌 asin p cos 8 ap cos p cos 8 -ap sin o sin 8 HJ(p, P, 0)=bsin o sing bp cos p sin e bpsin o cos 0 C cos abcp sin 原式=!2mp2snae=mbe.mem Q

3. ( ) , 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  + +  + +   c z b y a x dv c z b y a x ex 计算 其中 为 Solution.      = = =         cos sin sin sin cos z c y b x a 设                  0 2 0 0 1 则 : cos sin 0 sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin ( , , )                       c c b b b a a a J − − 且 =  sin 2 = abc   =   abc sinddd 原式 2 2 . 5 4 = abc The end