Chapter 1(1 元函数的视态、 极限与连续
Chapter 1(1) 多元函数的概念、 极限与连续
A 教学要求: 1.理解多元函数的概念; 2.了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭 区域上连续函数的性质 K心
教学要求： 1. 理解多元函数的概念; 2. 了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭 区域上连续函数的性质
预备知识 多元函数的概念 三.多元函数的极限 四多元函数的连续性 K心
一 .预备知识 二.多元函数的概念 三.多元函数的极限 四.多元函数的连续性
一.预备知识 1.邻域 设(x0,y0)是xoy平面上的一个点,δ是某 正数,与点P(x0,y0)距离小于δ的点P(x,y) 的全体,称为点P的δ邻域,记为U/(P0,06), U(P, S)=PlPPoK8f t, D)lvex-xo2+(y-yo)2<6f U(G,)={x,y0<√(x-x0)2+(y-y0)2<b} U(P0,)={(x,y)|x-x0<,y-y<6} K心
一 .预备知识 1. 邻域 P0 ( , ) U P0 = P | PP0 | ( , )| ( ) ( ) . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y • 设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为 ( , ) U P0 ， , ) ( , )| 0 ( ) ( ) . ˆ ( 2 0 2 U P0 = x y x − x0 + y − y ( , ) {( , ) | , } U P0 = x y x − x0 y − y0
2.区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点E的内点属于E 如果点集E的点都是内点, 则称E为开集 例如,E1={x,y)1<x2+y2<4} E 即为开集 K心
2. 区域 . ( ) 则称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P E 的内点属于 E . E P • 则称 为开集. 如果点集 的点都是内点， E E {( , )1 4} 2 2 例如， E1 = x y x + y 即为开集．
如果点P的任一个邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点 E的边界点的全体称为E的边界 P 设D是开集.如果对于D内 任何两点,都可用折线连结起来, E 且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的 K心
可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， E P E E P E P E E •P E 的边界点的全体称为 E 的边界． 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D • •
连通的开集称为开区域 J 例如,{(x,y)|1<x2+y2<4} 开区域连同它的边界一起称为区域y 例如,{(x,y)1≤x2+y2≤4} K心
连通的开集称为开区域． {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域. {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y x + y x y o
对于点集E如果存在正数K,使一切点 P∈E与某一定点A间的距离AP不超过K, 即AP≤K 对一切P∈E成立,则称E为有界点集,否 则称为无界点集.例如, {(x,y)1≤x2+y2≤4} 有界闭区域 x{(x,y)|x+y>0} 无界开区域 K心
{(x, y)| x + y 0} 有界闭区域； 无界开区域． x y o 则称为无界点集． 例如， 对一切 成立，则称 为有界点集，否 即 与某一定点 间的距离 不超过 ， 对于点集 如果存在正数 ，使一切点 P E E AP K P E A AP K E K {( , )|1 4} 2 2 x y x + y
3.聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E,则称P为E的聚点 注意:(1)内点一定是聚点; (2)边界点可能是聚点; 如{(x,y)|0<x2+y2≤1}(0,0)既是边界点也是聚点 (3)点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E 如{(x,y)|0<x2+y2≤}(0,0)是聚点但不属于集合 如(x,y)|x2+y2≤} 边界上的点都是聚点也都属于集合 K心
3. 聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. 注意: (1) 内点一定是聚点； (2) 边界点可能是聚点； {( , ) | 0 1} 2 2 如 x y x + y (0,0)既是边界点也是聚点. (3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． {( , ) | 0 1} 2 2 如 x y x + y (0,0) 是聚点但不属于集合. {( , )| 1} 2 2 如 x y x + y 边界上的点都是聚点也都属于集合．
二.多元函数的概念 1.二元函数的定义 设D是平面上的一个点集,如果对于每个点 P(x,y)∈D,变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应,则称z是变量x,y的二元函数,记为 z=f(x,y)(或记为z=∫(P) 2.二元函数的定义域 (1)使得算式有意义的xy的变化范围所确定的点集 (2)使得实际问题有意义的xy的变化范围所确定的点集 (3)二元函数的定义域一般来说是平面上的区域 (4)二元函数的两要素是定义域和对应法则 K心
二.多元函数的概念 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P(x, y) D，变量 z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z = f (x, y)（或记为z = f (P)）. 1. 二元函数的定义 2. 二元函数的定义域 (1) 使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集. (2) 使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集. (3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域. (4) 二元函数的两要素是定义域和对应法则