中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter3（3）线性方程组（习题课）

Chapter 3 线性方程组习题课 K心D

Chapter 3 线性方程组习题课

、内容小结 1.线性方程组的表示形式 2.齐次线性方程组 3.非齐次线性方程组 4.关于矩阵秩与方程组解的几个结论 二、题型及方法 1.利用初等行变换求解线性方程组 2.讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、 无解的情况 3与方程组解的结构相关的证明题 K

一、内容小结 2. 齐次线性方程组 3. 非齐次线性方程组 1. 线性方程组的表示形式 4. 关于矩阵秩与方程组解的几个结论 二、题型及方法 1. 利用初等行变换求解线性方程组 2. 讨论线性方程组有唯一解、无穷多解、 无解的情况 3. 与方程组解的结构相关的证明题

ex设m阶矩阵A的伴随矩阵A4≠0,若51,2,253,f4 是非齐次线性方程组4x=b的互不相等的解,则对 应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(B) (4)不存在 (B仅含一个非零向量 (C)含有两个线性无关的解向量 (D)含有三个线性无关的解向量 K

( ) . ( ) ( ) ( ) 0 ( ). , 1. 0, , , , 1 2 3 4 * 含有三个线性无关的解向量 含有两个线性无关的解向量 仅含一个非零向量 不存在 应的齐次线性方程组 的基础解系 是非齐次线性方程组 的互不相等的解 则对 设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 D C B A Ax Ax b ex n A A = =      B

x1+Ax,+∥C3+xA=0 ex2设线性方程组2x1+x2+x3+2x4=0 3x1+(2+)x2+(4+)x3+4x4=1 已知(1,-1,1,-1)是该方程组的一个解试求方程组的全 部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部 解. Solution.将(1,-1,1,-1)代入方程组得=p 12210 B=21 120 32+4+24

. , (1, 1,1, 1) . , 3 (2 ) (4 ) 4 1 2 2 0 0 2. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 解 部解 并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部 已知 是该方程组的一个解 试求方程组的全 设线性方程组 T x x x x x x x x x x x x ex − −      + + + + + = + + + = + + + =     Solution. 将(1,−1,1,−1) 代入方程组得 = . T           + + = 3 2 4 4 1 2 1 1 2 0 1 1 0     B

210 01-241-2400 02-24-211 1 210 01-241-2元00 31 210 01 311 01-21-2400

          − − → − − 0 2 2 4 2 1 1 0 1 2 1 2 0 0 1 1 0                 → − − 0 1 3 1 1 0 1 2 1 2 0 0 1 1 0               − − → 0 1 2 1 2 0 0 0 1 3 1 1 1 1 0    

当λ≠时, 2 1xx10)10010 B→|0 311→>010 22 01100 001 22 r(4)=r(B)=3<4,故方程组有无穷多解, 1 0 2 同解方程组为 2 2 4 2 2 ,+ 4 2 2 4 4=x4

, 21 当   时   → 0 1 1 0 0 0 1 3 1 1 1   1 0 B   → − −21 21 0 0 1 21 21 0 1 0 1 0 0 1 0 r(A) = r(B) = 3  4,故方程组有无穷多解, 同解方程组为  == − + = − = − 4 4 3 4 2 4 1 4 21 21 21 21 x x x x x x x x . 021210 2112 4321  − +  −− =  k xxxx

当λ=时, 2 10 22 B→01311)01311 0000000000 r(4)=r(B)=2<4,故方程组有无穷多解, 0 同解方程组为 X42 2 3x3-x4+1x2 3 2 2 2 xxx +k2 3 0 3 4 0 2 2 0 圆心

, 21 当  = 时   → 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 1 0 21 21 1 B   − − → 0 0 0 0 0 0 1 3 1 121 21 1 0 1 r(A) = r(B) = 2  4,故方程组有无穷多解, 同解方程组为 === − − + = − − 4 4 3 3 2 3 4 1 3 4 3 121 21 x x x x x x x x x x . 021210 2021 0131 1 2 4321  − + −− + − =  k k xxxx

ex3.(pge82-9) The end Proof.∵‘丌h-7n=r+1 n-r+19 是齐次线性方程组 Ax=0的(n-r)个解 7n-r-mn-r+1,而且它们是线性无关的! 从而非齐次线性方程组Ax=b的任一解可表示为: x=k1(mh-mn=r+1)+k2(m2-mn=r+1)+… n-r(n-r mu-r+1)+nn-r+ k1mh+k272+…+ n-rIn-r +(1-k1 nm-r+ k11+k22+…+kn-rn-r+k n-r+1n-r+1

ex3.( page82-9 ) Proof. , , , , 1 2 1 1 1 − − + − + − + − − − n r n r n r n r         0的( )个解. 是齐次线性方程组 Ax = n − r 而且它们是线性无关的! 从而非齐次线性方程组 Ax = b的任一解可表示为: 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) − − − + − + − + − + + − + = − + − + n r n r n r n r n r n r k x k k         1 1 2 2 1 1 (1 ) = k  + k  ++ kn−rn−r + − k −− kn−r n−r+ . = k11 + k22 ++ kn−rn−r + kn−r+1n−r+1 The end