中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter3（1）n维向量组及其线性相关性

Chapter 3(1) 维向量组 其线性相关性

Chapter 3(1) n维向量组及 其线性相关性

教学要求: 1.理解n维向量的概念 2.理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并 会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论; 3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概 念,会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩; 4.了解向量组等价的概念,了解向量组的秩与矩阵 秩的关系 K<DD

教学要求： 1. 理解n维向量的概念; 2. 理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并 会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论; 3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概 念，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩; 4. 了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵 秩的关系

向量组与矩阵 向量组的线性相关性 向量组间的关系 四向量组的最大无关组 五向量组的秩与矩阵的秩

一 .向量组与矩阵 二.向量组的线性相关性 三.向量组间的关系 四.向量组的最大无关组 五.向量组的秩与矩阵的秩

一向量组与矩阵 1.n维向量及其表示法 n个数a1,a2,…,an所组成的有序数组称为n维向量 n维向量写成一行,称为行向量,也就是行 矩阵,通常用a,b,a,B等表示,如: 19299un n维向量写成一列,称为列向量,也就是列 矩阵,通常用a,b,a,B等表示,如 2 K

一 .向量组与矩阵 1. n维向量及其表示法 , , , . n个数a1 a2  an所组成的有序数组称为n维向量 ( , , , ) 1 2 n T a = a a  a             = an a a a  2 1 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 a T ,b T , T , T 等表示，如： n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a,b,, 等表示，如： n

注意: (1)行向量和列向量总被看作是两个不同的向量; (2)行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算; (3)当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量 K

注意: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量; (2) 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算; (3) 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量

2.矩阵用行列向量组表示 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵A=(ai)有n个m维列向量 xn C12 u1a12 ain 21a22 2 a2n ml m2 m 向量组a,a2,…,an称为矩阵4的列向量组

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (aij) mn 有n个m维列向量               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,  , an 称为矩阵A的列向量组. a1 a2 a j an 2. 矩阵用行(列)向量组表示

类似地矩阵A=(i)又有m个n维行向量 nxn 1112 2122 a2n a2 lil (i2 ain aml (m2 am 向量组a1,a2,…,am称为矩阵A的行向量组 K

类似地,矩阵A = (aij ) mn 又有m个n维行向量                   = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1  T 1  T 2  T i  T m  T 1  T 2  T i  T m 向量组  , , …， 称为矩阵A的行向量组． T 1  T 2  T m

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵 m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,…am, 构成一个n×m矩阵 A=(a1,a2…,Cn) m个n维行向量所组成 Bi 的向量组B1,B2,…B B 构成一个m×n矩阵 B

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量组 n m m n m  , , , , 1  2   构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T  , , ,  1  2                = T m T T B     2 1 ( , , , ) A = 1  2   m

二向量组的线性相关性 1.线性组合 auxi+an2x2+.+aimxm=bl 考察方程组421x1+a2x2+…1+mxm=b2 anx1+anx2+…+amxm=bn anx1+a12x2++aimxmb1 看成向量有 a21x1+a22x2. +a2mxm b2 nx1+an2x2+…+amxm」[b

二.向量组的线性相关性 1. 线性组合 考察方程组        + + + = + + + = + + + = a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n nm m n m m m m     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 看成向量有 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1             =               + + + + + + + + + b b b a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n nm m n m m m m     

C11 12 aimIn 即x;/a2 21 +t,/42 22 2m b ∴十X, an nn b 2 得a=x1a1+x2a2+…+xm2Cm 若x,x2,…,xmn存在称a可由ax1,a2,…,an线性表示

2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1             =               + +             +             b b b a a a a a a a a a nm n m m m n n x x x      即 1   2   m    得  = x11 + x22 ++ xm m , , , , , , , . 若 x1 x2  xm存在 称可由1 2   m线性表示