Chapter 多元函数微分学小结 K心D
Chapter 1 多元函数微分学小结
第一部分:内容小结 、极限,连续,偏导数,全微分 1.二元函数的定义z=∫(x,y) 2.二元函数的极限limf(x,y)=A x→>x0 J→y 3.二元函数的连续性 (1)定义,im、f(x,y)=∫(x0,y (x,y)→(x0,y0) (2)性质连续函数的和差积商是连续函数 连续函数的复合函数是连续函数 切多元初等函数在其定义区域内连续 K心
第一部分: 内容小结 一、极限，连续，偏导数，全微分 1. 二元函数的定义 z = f (x, y) 2. 二元函数的极限 f x y A y y x x = → → lim ( , ) 0 0 3. 二元函数的连续性 (1)定义 lim ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y x y x y = → (2)性质 连续函数的和差积商是连续函数. 连续函数的复合函数是连续函数. 一切多元初等函数在其定义区域内连续
(3)闭区域上连续函数的性质最大最小值定理 介值定理 4.偏导数 (1)一阶偏导数 定义:∫x(x0,)=im f(x0+△x,yo)-f(x0,y) △v→>0 △y f f(x,y)-f∫(x0,y) Ox(x,y)x→xD r- fy(xo, yo)=lim /(os o+Ay)-f(o, yo △y→>0 △ 计算方法:求偏导时,只须对所讨论的变量 求导而把其余的变量看作常数 K心
(3)闭区域上连续函数的性质 最大最小值定理 介值定理 4. 偏导数 (1) 一阶偏导数 定义: x f x x y f x y f x y x x + − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 ( , ) 0 0 0 x x f x y f x y x f x x x y − − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 y f x y y f x y f x y y y + − = → 计算方法: 求偏导时,只须对所讨论的变量 求导,而把其余的变量看作常数
几何意义:tana=∫x(x,y),tan月=(x,y) (2)高阶偏导数 az aa ∫x(x,y)=fx(x,y) 2 ax ax ∫(x,y)=∫(x,y) az aaz aray ay、ax fM(x, y)=fyx(, y= a2z a 0z Oyax axon az a a2 ∫m(x,y)=∫m(x,y)=2 avl a K心
几何意义: tan f (x, y),tan f (x, y). = x = y (2) 高阶偏导数 = = = x z x x z f x y f x y xx xx 2 2 ( , ) ( , ) = = = x z x y y z f x y f x y xy xy 2 ( , ) ( , ) = = = y z y x x z f x y f x y yx yx 2 ( , ) ( , ) = = = y z y y z f x y f x y yy yy 2 2 ( , ) ( , )
5.全微分 全微分为么s+Ax,+2y)-f(x0, 全增量为△z=f( 4+0d ax 6.极限存在、连续、可偏导、可徼分的关系 函数连续 函数可导 函数可微 偏导数连续 K心
5. 全微分 ( , ) ( , ). 0 0 0 0 全增量为 z = f x + x y + y − f x y dy. y z dx x z dz + 全微分为 = 6. 极限存在、连续、可偏导、可微分的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导
二、微分法 1、全导数公式 设z=f(u,v),u=g(x),y=v(x),则 da_i af du, af di au dx ay dx 2、偏导数公式 设z=f(u,v),=p(x,y),v=v(x,y,则 Oz=UY fi xOz Ou.z Ov 十 ax au ax av ax z az au az av K心
二、微分法 1、全导数公式 设z = f (u,v),u = (x),v =(x),则 ( ) dx dv v f dx du u f v u f f dx dz + = = 1 2 2、偏导数公式 设z = f (u,v),u = (x, y),v =(x, y),则 ( ) ( ) y v v z y u u z v u f f y z x v v z x u u z v u f f x z y y x x + = = + = = 1 2 1 2
3、一阶全微分形式不变性 设z=∫(L,ν),u=g(x,y),v=y(x,y),则 af af du+dv av 4、隐函数的微分法 1)设F(x,y)=0,当F,≠0时,=-F; d x 当F≠0时, dx 小y (2)设F(x,y,z)=0,当F2≠0时, az Ox F, ay F
3、一阶全微分形式不变性 设z = f (u,v),u = (x, y),v =(x, y),则 dv v f du u f dz + = 4、隐函数的微分法 0 , . (1) ( , ) 0, 0 , ; x y x y x y F F dy dx F F F dx dy F x y F = − = = − 当 时 设 当 时 , . (2) ( , , ) 0, 0 , z y z x z F F y z F F x z F x y z F = − = − 设 = 当 时
(3)方程组情形 F(x,y,z)=0 确定了两个一元函数 G(x,y,z)=0 2){F(x,.)=0 IG(x, y,u,v)=0 确定了两个二元函数 x=x(u, v) 3){y=y(u,)确定了一个以为中间变量 =z(u、积为自变量的二元函数 K心
(3) 方程组情形 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 1) G x y z F x y z 确定了两个一元函数. = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 2) G x y u v F x y u v 确定了两个二元函数. = = = ( , ) ( , ) ( , ) 3) z z u v y y u v x x u v 确定了一个以u,v为中间变量 x,y为自变量的二元函数
、微分学的应用 几何上的应用 x=o( (1)空间曲线y=(t)(为参数切线和法平面 z=(t) 切向量为:T={p(4),vy(4),o(t) 切线方程为:0=1%0=x p(to) y(to) a(to) 法平面方程为 q(to)(x-x)+v(to)(y-y)+o)(o)(z-3)=0 K心
三、微分学的应用 1. 几何上的应用 空间曲线 ( 为参数)的切线和法平面 ( ) ( ) ( ) (1) t z t y t x t = = = :T = (t 0 ),(t 0 ),(t 0 ) 切向量为 ( ) ( ) ( ) : 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x − = − = − 切线方程为 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0. t0 x − x0 + t0 y − y0 + t0 z − z0 = 法平面方程为
()间曲线F(xy)=0 的切线和法平面 G(x,y,z)=0 切向量为: xo, Vo, 40 x 0 (x0,y0, ,1 050,<0 xo’yos 0 K心
空间曲线 的切线和法平面 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 (2) G x y z F x y z 切向量为: {1, , } ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dx dz dx dy T = { ,1, } ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dy dz dy dx T = { , ,1} ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 x y z x y z dz dy dz dx T =