中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter4（6）Gauss公式与通量

Chapter 4(6 Gaus公式与通量

Chapter 4(6) Gauss公式与通量

教学要求: 1.了解Gaus式; 2.会用 Gauss公式计算曲面积分 3.了解通量与散度的概念并会计算 K<DD

教学要求： 1. 了解Gauss公式; 2. 会用Gauss公式计算曲面积分； 3. 了解通量与散度的概念并会计算

一.GauS公式 沿闭曲面的曲面积分为零的条件 通量与散度 四.综合题解 K心

一 .Gauss公式 二.沿闭曲面的曲面积分为零的条件 三.通量与散度 四.综合题解

Gaus公式 高斯公式或奥氏公式或奥高公式 定理1 (1)设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ所围成; (2)P(x,y,z),Q(x,y,z,R(x,y,z)在Ω2上有一阶连续偏导; 则∫ OP 00 OR Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=J(+ +ody ∑ Q x ay a 或∫( Pcos a+ 2cos B+ Rcos y)dS=∫ OP 00 OR +=2+-)dh ∑ 其中∑是9的整个边界曲面的外侧,cosa,cosB,c0s是 ∑上点(x,y,z)处的外法向量的方向余弦 K心

一 .Gauss公式 ——高斯公式或奥氏公式或奥高公式 定理1. (1)设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成; (2)P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在上有一阶连续偏导;       +   +   + + = dv z R y Q x P 则 Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )       +   +   + + = dv z R y Q x P 或 (Pcos Qcos  Rcos )dS ( ) ( , , ) . , cos , cos , cos 上点 处的外法向量的方向余弦 其中 是 的整个边界曲面的外侧 是  x y z     

Proof (1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两 个,如图 设闭区域在xOy面上的投 影区域为D xy Σ由∑,∑2和Σ3三部分组成, ∑1:z=x1(x,y,取下侧 ∑2:z=z2(x,y),取上侧 J ∑3,取外侧 且Ω={(x,y,列)a1(x,y)≤z≤2(x,y)2(x,y)∈Dxy} K心

Proof. (1)设平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点不多于两 个，如图 x y z o  设闭区域 在xoy 面上的投 影区域为Dxy. Dxy 由1 ,2和3 三部分组成, 1 : ( , ), ; 1 z = z1 x y 取下侧 2 : ( , ), ; 2 z = z2 x y 取上侧 3 , . 3 取外侧 {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dxy 且 = x y z z x y  z  z x y x y 

根据三重积分的计算法 OR 2(x,D)OR dzjdxdy z z(x,y)dz =∫xy,z(x,y-x,y,a(x,ya小 rey 根据曲面积分的计算法 手R(x,y,z)d=』Rdd+』Rdd+』Rd小 ∑ 2 3 II RIx, y, z(x, y)ldxdy+Rx, y, z2(x, y))dxdy+0 D D OR Jb=∫R(x,y) K心

根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y z x y       =   { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . =  2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) , 1 2 3         R x y z dxdy = Rdxdy + Rdxdy + Rdxdy = −  Dxy R[x, y,z (x, y)]dxdy 1 +  Dxy R[x, y,z (x, y)]dxdy 2 + 0 ( , , ) .     =    dv R x y z dxdy z R

同理,Ω={(x,y,列)y1(x,z)≤y≤y2(x,,(x,x)∈Dx} 0 dv=日 oddi Q ∑ C2={(x,y,z)|x1(,z)≤xsx2(,z),(yz)∈D1z OP dv=h Pdvd ax Q ∑ 三式相加得, OP 00 OR Ox ay az )db= ff Prydz+d+Rdh小 ∑ (2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域,可得结论 K心

同理, {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dxz  = x y z y x z  y  y x z x z  ,     =   dv Qdzdx y Q {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dyz  = x y z x y z  x  x y z y z  ,     =   dv Pdydz x P 三式相加得, ( ) .     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P (2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域，可得结论

注意: (1)Gaus公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 (2)GauS公式可用来简化某些曲面积分的计算. (3)不是封闭曲面时,添加辅助面后可用Gaus公式 (4)使用 Gauss公式时应考虑:P,Q,R是对什么变量求偏 导,是否有连续偏导,是否是闭曲面的外侧 如果是闭曲面的内侧,则在三重积分号前添“-”号! (5)可用曲面积分计算空间区域的体积:0 小y OI OI =3+yh+小=xh=y K心

注意: (1) Gauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. (2) Gauss公式可用来简化某些曲面积分的计算. (3) 不是封闭曲面时, 添加辅助面后可用Gauss公式. (4) 使用Gauss公式时应考虑: P,Q,R是对什么变量求偏 导, 是否有连续偏导, 是否是闭曲面的外侧. 如果是闭曲面的内侧, 则在三重积分号前添“−”号! (5) 可用曲面积分计算空间区域的体积:   V = xdydz + ydzdx + zdxdy 3 1   = xdydz or   = ydzdx or   = zdxdy or

erl计算∫y(x-2)dd+x2+(y2+x)tcd 其中Σ是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧 Solution.记Σ所围的区域为g,利用Gaus公式,有 原式= aP 80 aR X OL )dv ox a Q ∫j(y+x)tdt 0-000(y+x)dz K心

Solution. 记所围的区域为, 利用Gauss公式，有     +   +   = dv z R y Q x P 原 式 ( )   = ( y + x)dxdydz    = + a a a dx dy y x dz 0 0 0 ( ) . 4 = a 1. ( ) ( ) , 2 2   ex 计算 y x − z dydz + x dzdx + y + xz dxdy 其中是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧

ex2.计算曲面积分(x-y)+(y-z)xd小tz,其 中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,3=3所围成 的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 Solution.利用Gaus公式,得 原式= OP O0 OR +-+-)dv ax ay az =∫(y-)xdhz ∫ (rsin 6-z) edz 2兀 0-075mb-xts9兀 2 K心

ex2.计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz   ,其 中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平面z = 0,z = 3所围成 的空间闭区域的整个边界曲面的外侧. Solution. o x y z 1 1 3 利用Gauss公式, 得     +   +   = dv z R y Q x P 原 式 ( )   = ( y − z)dxdydz   = (rsin − z)rdrddz =    − 3 0 1 0 2 0 d rdr (rsin z)dz  . 2 9 = −