Chapter 5( 3) 个高阶微 高阶线性微
Chapter 5(3) 可降阶的高阶微分方程 与高阶线性微分方程
教学要求 (1)会用降阶法解下列微分方程: y")=f(x),y"=f(x,y),y"=f(y,y) (2)理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 K
教学要求 (1) 会用降阶法解下列微分方程： (2) 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理. ( ), ( , ), ( , ) ( ) y f x y f x y y f y y n = = =
f(x)型 二.y"=f(x,y)型 y"=f(y,y)型 四.二阶线性微分方程的概念 五.函数的线性相关性 六.二阶线性微分方程解的结构 七.n阶线性微分方程解的结构 八.变系数微分方程的常数变易法
一 . y (n) = f (x)型 二. y = f (x, y)型 三. y = f ( y, y)型 四. 二阶线性微分方程的概念 五. 函数的线性相关性 六. 二阶线性微分方程解的结构 七. n阶线性微分方程解的结构 八. 变系数微分方程的常数变易法
y)=f(x)型 解法: 连续积分n次得含有n个互相独立任意常数的通解. f(r) )=∫f(x)x+C1 y(n-z)=uf(x)dx+Cildx +C2 y=…∫f(x)x…ax+ r +...+ Cn-ix+Cn n
一 . y (n) = f (x)型 解法： 连续积分n次得含有n个互相独立任意常数的通解. ( ) ( ) y f x n = 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n = + + − … n n n x C x C n C y f x dx dx + + + − = + − − 1 1 1 ( 1)! ( )
Example 1.求ym=x2+sinx的通解 Solution. y"=(x+sin x)dxs+U coSx+ 3 y'=∫(2-cosx+G1hts sin x+C1x+C2 12 ∫(;-sinx+C1x+C2) 5 即y=60 +c0sx+C1x2+C2x+C3为通解 K心
Example 1. sin . 求y = x 2 + x的通解 Solution. y = (x + sin x)dx 2 1 3 cos 3 x C x = − + = − x + C dx x y cos ) 3 ( 1 3 1 2 4 sin 12 x C x C x = − + + = − x + C x + C dx x y sin ) 12 ( 1 2 4 . 2 1 cos 60 2 3 2 1 5 即 x C x C x C 为通解 x y = + + + +
y=f(x,y)型(不显含未知函数的微分方程) 解法:令y=p(x),则 dp= p 方程变形为p'=∫(x,p) 解此一阶微分方程可得P=φ(x,C1 dy dx 两边积分得y=(x,C1)dx+C
二. y = f (x, y)型 (不显含未知函数的微分方程) 解法：令 y’ =p(x), 则 p x p y = = d d 方程变形为 p = f (x, p) 解此一阶微分方程可得 即 ( , ) d d x C1 x y = 两边积分得 = 1 d + 2 y (x,C ) x C p= (x, C1 )
Example2.求方程xy4)-y4=0的通解 Solution, iy(4)=p(x), ya=p'(x) 代入原方程x-p=0, 解线性方程,得P=C1x即y(=C1x, 两端积分,得y-2 =C1x2+C2, y-120 x5+-2x3+3x2+C,x+C 2 原方程通解为y=d1x3+d2x3+d2x2+d1x+d
0 . 求方程 xy(5) − y (4) = 的通解 Solution. ( ), (4) 设 y = p x 代入原方程 xp − p = 0, 解线性方程, 得 p = C1x 两端积分,得 原方程通解为 ( ) (5) y = p x , 1 (4) 即 y = C x , 2 1 2 2 y = C1 x + C , , 120 6 2 4 5 1 5 2 3 3 2 x C x C C x C x C y = + + + + 4 5 2 3 3 2 5 y = d1 x + d x + d x + d x + d Example 2
y"=f(y,y)型(不显含自变量的微分方程) 解法:令y=p(y),则 dp dp d d P 方程变为 p ay =f(, p) 解此一阶微分方程得p=g(v,C1 d 即 =q(y,C1) dx 分离变量并两边积分得 d dx=x+o P(y, CD K
三. y = f ( y, y)型 (不显含自变量的微分方程) 解法： 令 y'=p(y), 则 y p p x y y p x p y d d d d d d d d "= = = 方程变为 d ( , ) d p p f y p y = 解此一阶微分方程得 p= (y, C1 ) 即 ( , ) d d C1 y x y = 分离变量并两边积分得 2 1 d ( , ) d x x C y C y = = +
Example3.求解微分方程2y"+y2=0 Solution.令yp(),则y=p dp d ①+P=0 2yp dy 分离变量得 d P y In| pl==In l y|+In/C1 2
Example 3. 求解微分方程 2yy''+y' 2=0 Solution. 0 d d 2 2 + p = y p yp 分离变量得 y y p p 2 d d = − 1 ln | | ln 2 1 ln | p |= − y + C 即 y C p 1 = 令 y'=p(y), 则 y p y p d d "=
dy C 即 dx 分离变量得√ydy=C1dx 两边积分得y2=C1x+C2 3 即 Cx+c 4 或y=(C3x+C4)3
即 y C x y 1 d d = 分离变量得 ydy = C1 dx 1 2 2 3 3 2 两边积分得 y = C x + C 或 3 4 2 3 即 y = C x + C 3 2 3 4 y = (C x + C )