中南大学：《大学数学》课程教学资源（微积分案例题解）练习四

练习41 法1:令 x= cos t (0≤t≤2x) y=-1+sint 法2:由r=-2sine, ∫x=-2sin0s0(z≤0≤2z) y=-2 esin e sino或(-z≤O≤0) x= acos t 取 (0≤t≤27) y=asin K心

练习4.1 二. 法1:    = − + = y t x t 1 sin cos 令 (0  t  2 ) 法2: 由r = −2sin ,    = − = −     2sin sin 2sin cos y x 令 (    2 ) 或(−    0) 三. (0 2 ) sin cos 3 3        = = t y a t x a t 取

练习42 0<x≤1 2-x,1<x<2 ∫(x2+p2)+(x2-y2) 「(x2+x2)d+1x2+(2-x)31d-1x2-(2-x31 2x2d+2(2-x)2dx 3 K心

练习4.2 二. 1.  −     = − − = 2 , 1 2 , 0 1 1 1 x x x x  y x   + + − C(x y )dx (x y )dy 2 2 2 2 =  + +  + − −  − − 21 2 2 2 1 1 2 2 0 2 2 (x x )dx [x (2 x) ]dx [x (2 x) ]dx =  +  − 21 1 2 0 2 2x dx 2(2 x) dx . 34 =

二.2.om4:y=x2,x由0→1, Ano:y=x,x由1→0, omAn arctan f(2xarctanx-1)dx+(arctanl-1)dx K心

二. 2. : , 0 1, omA y = x 2 x由 → Ano : y = x, x由1 → 0, dy dx x y omAno  arctan − =  − +  − 0 1 1 0 (2xarctan x 1)dx (arctan1 1)dx

四.由 x ty+i =a 两边对x求导得, x+y+z=0 2x +2yy+ 2zz=0 x-Z y=x l+y+z'=0 曲线的切向量为:{1, x-z y-x y z-y 记T={x-y,x-3,y-x},它与L的方向一致, cos C (z-y)2+(x-x2+(y-x)2 x-Z cOs B 2 (z-y)2+(x-z)2+(y K心

四. , 0 2 2 2 2 由 两边对x求导得 x y z x y z a    + + = + + = , 1 0 2 2 2 0    +  +  = +  +  = y z x yy zz , z y x z y − −  = . z y y x z − −  = :{1, , }, z y y x z y x z − − − − 曲线的切向量为 T = {z − y, x − z, y − x},  记 它与L的方向一致, , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 2 z y x z y x z y − + − + − −  = , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 2 z y x z y x x z − + − + − −  =

cosY (z-y)2+(x-z)2+(y-x) (z-y)2+(x-z)2+(y-x) LV(z-y)2+(x-z)2+(y-x) ∫√(a-p2+(x-z)2+(-x3 ∫√3(x2+y2+x2)-(x+y+a)d -「√3mds=-2、3n 注意:也可利用参数方程来求解 K心

, ( ) ( ) ( ) cos 2 2 2 z y x z y x y x − + − + − −  = ds z y x z y x z y x z y x I L  − + − + − − + − + −  = − 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z y x z y x ds L = − − + − + − 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y z x y z ds L = − + + − + + 2 2 2 2 3( ) ( ) ads L = − 3 2 3 . 2 = − a 注意:也可利用参数方程来求解

练习43 添加辅助线AB,BO, AB:x=1,y从1→0, BO:y=0,x从1→0, aP 00 eye 2(1-yey), ax 原式=∫-∫-「 C+Ab+Bo Ab Bo -∫2-」e"+2x(1-yey)-∫ D AB BO -1-,2(1-yy)d- K心

练习4.3 三. x y O A(1,1) 添加辅助线AB,BO, B AB : x = 1, y从 1 → 0, BO : y = 0, x从 1 → 0, 2 , 2 y ye yP − = −  2(1 ), 2 y ye xQ − = −  =  −  −  C+ AB+BO AB BO 原式= − −  + − −  − − AB BO y y D 2dxdy e dx 2x(1 ye )dy 2 2 = − −  − −  − 01 01 1 2(1 ) 2 ye dy dy y

四.添加辅助线O4, O4:y=0,x从0→2, x+y=2x aP ay =e cos y, A(2,0 00 =e coste a 原式 L+0404 x' dxdy- e sin ydx +(e cos y+ a)dy D 0A 3 2o2 cos 6 ·rur K心

四. x y O A(2,0) x y 2x 2 2 + = 添加辅助线OA, OA: y = 0, x从0 → 2, e cos y, y P x =   cos , 2 e y x x Q x = +   =  −  L+OA OA 原式=  −  + + O A x x D dy x x dxdy e ydx e y ) 3 sin ( cos 2 2   =      2cos 0 2 2 2 0 d r cos rdr

练习44 ∫(+yz+zx)lS由对称性与奇偶性得 zxds ∑ ∫(x+p+z)dS由对称性与奇偶性得 zds K心

练习4.4 三.  xy yz zx dS  ( + + ) 由对称性与奇偶性得  zxdS  = 四. x y z dS S ( + + ) 由对称性与奇偶性得 zdS S = 

练习45 二.∫zdh= r y b X=au y=bν -abc u - dudu u2+y2≤1 2丌 =-abcl-dO 1-rrdr =-=nabc 3 ∫dt=2xo zabc, Jydzdx =-muabc, 3 3 前 S 1=3·(一mbc)=-2mbc. 3 K心

练习4.5 二. S zdxdy  +  = − − − 1 22 22 22 22 1 by ax dxdy by ax c  +  == ===== − − − 1 2 2 2 2 1 u v y b v x a u abc u v dudv = −   − 10 2 2 0 abc d 1 r rdr   , 32 = − abc , 32 xdydz 2 xdydz abc S S  =  = −  前 , 32 ydzdx abc S  = −  ) 2 . 32  I = 3 (− abc = − abc

小y lc+√R2-(x 2 (y-b)dxdy (x-a)2+(y-b)2sR X=afu y=b+ν -cR VR2-u2-v2dudv +v2≤R 2丌 R c欢R2+d6、R2-r2rd=cmR2+mR 0 3 d=+』xdt 前 后 ∫a+√R2-(y-6)2-(z-c)1 (y-b)2+(z-c)2≤R2,c≤z a-√R-(y-b)2-(x-c)dv (y-b)2+(x-c)2≤R2,C≤乙 K心心

三.  S zdxdy  − + −  = + − − − − 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 [ ( ) ( ) ] x a y b R c R x a y b dxdy  +  = + = + ===== + − − 2 2 2 2 2 2 2 u v R y b v x a u cR R u v dudv = +   − R c R d R r rdr 0 2 2 2 0 2    , 3 2 2 3 = cR + R  =  +  S S前 S后 xdydz xdydz xdydz  − + −   = + − − − − y b z c R c z a R y b z c dydz ( ) ( ) , 2 2 2 2 2 2 [ ( ) ( ) ]  − + −   − − − − − − y b z c R c z a R y b z c dydz ( ) ( ) , 2 2 2 2 2 2 [ ( ) ( ) ] , 3 2 3 = R