目录 第三版前离 第一版前言 第二版前言 第一章行列式 (1) 1二阶与三阶行列式 2全排列及其逆序数 83n阶行列式的定义 §4对换 §5行列式的性质 §6行列式按行(列)展开 §7克拉法则 (32) 第二章矩阵及其运算… §矩阵… §2矩阵的运算 逆矩阵 4矩阵分块法… 习题 第三章矩阵的初等变换与线性方程组… 1矩阵的初等变换 2矩阵的秩 §3线性方程组的解 各4初筝矩阵… ……(87) 习题三 第四章向量组的线性相关性… §1n维向量 §2向量组的线性相关性……
83向量组的秩 …(104 4向量空间… 85线性方程组的解的结构 习题四 第五章相似矩阵及二次型 81预备知识:向量的内积… (131) 2方阵的特征值与特征向量… ……(139) §3相似矩阵 §4对称矩阵的相似矩阵… §5二次型及其标准形……… §6用配方法化二次型成标准形…… ………(157) §7正定二次型 (159) 习题五 …………(161) 第六章线性空间与线性变换 …(164 §1线性空间的定义与性质 §2维数、基与坐标… …(169) §3基变换与坐标变换 …………(171) §4线性变换… ……(175 §5线性变换的矩阵表示式…… 习题六 习題谷案 …(187
第一章 行列式 本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法.此外 还要介绍用n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默( Cramer) 法则 1二阶与三阶行列式 、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 (1) b2 为消去未知数x2,以a21a12分别乘上列两方程的两端,然后两 个方程相减,得 (an1a2-a1a21)x1=6142"a12b2: 类似地,消去x1,得 ana 当ana2-a12a210时,求得方程组(1)的解为 a11b2-b1a21 (2) (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.其
中分母a1a22-a12421是由方程组(1)的四个系数确定的,把这四 个数按它们在方程组(1)中的位置,排成二行二列(横排称行、竖排 称列)的数表 12 表达式a142-a:242t称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作 数a(=1,2;=1,2)称为行列式(4)的元素元素a的第 一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为 列标,表明该元素位于第j列 上述二阶行列式的定义,可用对角线法则 来记忆参看图1.1,把a15a2的实联线称 为主对角线,a12到a1的虚联线称为副对角 线,于是二阶行列式便是主对角线上的两元素-a2 之积减去副对角线上两元素之积所得的差 利用二阶行列式的概念,(2)式中x1、x2 图1.1 的分子也可写成二阶行列式,即 b2 a22 a2a21 b2 若记 D b2a22 b 2 那末(2)式可写成
b D2 b? a21a22 注意这里的分母D是由方程组(1)的系数所确定的二阶行列 式(称系数行列式),x1的分子D1是用常数项b1、b2替换D中x1 的系数a1、a21所得的二阶行列式,x2的分子D2是用常数项b1、 b2替换D中x2的系数a12、a2所得的二阶行列式 例1求解二元线性方程组 3x1-2x2=12 D (-4)=70 211 因此 14 、三阶行列式 定义设有9个数排成3行3列的数表 12 a 21 a22 a
a3a3243 +a12a23a31+a13a21a32-a11a2432 (6)式称为数表(5)所确定的三阶行列式 上述定义表明三阶行列式含6项,每项均为不同行不同列的 三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循图1.2所示的对角线 法则:图中有三条实线看作是平行于主对角线的联线,三条虚线看 作是平行于副对角线的联线,实线上三元素的乘积冠正号,虚线上 三元素的乘积冠负号 图1.2 例2计算三阶行列式 解按对角线法则,有
D=1×2×(-2)+2×1×(-3)+(-4)×(-2)×4 1×1×4-2X(-2)x(-2)-(-4)×2×(-3) 4-6+32-4-8-24=-14 例3求解方程 23x=0 解方程左端的三阶行列式 12 =x2-5x+6, 由x2-5x+6=0解得x=2或x=3 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,为研究四阶及更高 阶行列式,下面先介绍有关全排列的知识,然后引出n阶行列式 的概念 §2全排列及其送序数 先看一个例子 引例用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的 三位数? 解这个问题相当于说,把三个数字分别放在百位、十位与个 位上,有几种不同的放法? 显然,百位上可以从12、3三个数字中任选一个,所以有3种 放法;十位上只能从剩下的两个数字中选一个,所以有2种放法; 而个位上只能放最后剩下的一个数字,所以只有1种放法因此, 共有3×2×1=6种放法 这六个不同的三位数是
123,231,312,132,213,321 在数学中,把考察的对象,例如上例中的数字1、2,3叫做元 素.上述问题就是:把3个不同的元素排成一列,共有几种不同的 排法? 对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题:把n个不同 的元素排成列,共有几种不同的排法? 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(也 简称排列 n个不同元素的所有排列的种数,通常用Pn表示,由引例的 结果可知P;=3·2·1=6 为了得出计算Pn的公式,可以仿照引例进行讨论 从n个元素中任取一个放在第一个位置上,有n种取法 又从剩下的n-1个元素中任取个放在第二个位置上,有 n-1种取法; 这样继续下去,直到最后只剩下一个元素放在第n个位置 上,只有1种取法.于是 Pn=n(n-1)……3·2·1=n! 对于n个不同的元素,先规定各元素之间有一个标准次序 例如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是在 这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序 不同时,就说有1个逆序一个排列中所有逆序的总数叫做这个排 列的逆序数 逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做 偶排列 下面来讨论计算排列的逆序数的方法 不失一般性,不妨设n个元寡为1至n这n个自然数,并规 定由小到大为标准次序.设
为这n个自然数的一个排列,考虑元素p(i=1,2,…,n),如果 比p,大的且排在p前面的元素有t1个,就说p,这个元素的递序 数是t1,全体元素的逆序数之总和 即是这个排列的逆序数 例4求排列32514的逆序数 解在排列32514中 3排在首位,逆序数为0 2的前面比2大的数有一个(3),故逆序数为1 5是最大数,逆序数为0; 1的前面比1大的数有三个(3、2、5),故逆序数为3 4的前面比4大的数有一个(5),故逆序数为1,于是这个排列 的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5 §3n阶行列式的定义 为了作出n阶行列式的定义,先来研究三阶行列式的结构 三阶行列式定义为 a21a2a2=a1a2a3+a12a23a31+a1a21a32 容易看出 (i)(6)式右边的每一项都恰是三个元素的乘积,这三个元素 位于不同的行、不同的列.因此,(6)式右端的任一项除正负号外可
以写成a1p,42p,3,这里第一个下标(行标)排成标准次序123 而第二个下标(列标)排成内p2p3,它是1、23三个数的某个排 列.这样的排列共有6种,对应(6)式右端共含6项 (i)各项的正负号与列标的排列对照 带正号的三项列标排列是:123,231,312 带负号的三项列标排列是:132,213,321 经计算可知前三个排列都是偶排列,而后三个排列都是奇排 列因此各项所带的正负号可以表示为(-1)2,其中t为列标排列 的逆序数 总之,三阶行列式可以写成 其中t为排列pp2p3的逆序数,Σ表示对12、3三个数的所有排 列p户2p3取和 仿此,可以把行列式推广到一般情形 定义设有n2个数排成n行n列的数表 作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号 (-1)2,得到形如 的项,其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列,t为这个 排列的逆序数.由于这样的排列共有n!个,因而形如(7)式的项