《复变函数与积分变换》课程教学资源（课后习题答案）习题三解答.pdf_大学文库

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 1 - 习题三解答 1.沿下列路线计算积分 ∫ + i z dz 30 2 。（ 1）自原点到 3 + i 的直线段（ 2）自原点沿实轴至 3，再由 3 沿垂直向上至 3 + i ；（ 3）自原点沿虚轴至 i，再由 i 沿水平方向右至 3 + i 。解（ 1 ） ⎩⎨⎧ == , 3 , y t x t 0 ≤ t ≤ 1，故 z = 3 t + i t ， 0 ≤ t ≤ 1 。 dz = ( 3 + i )dt 于是 z dz ( )( ) 3t it 3 i dt 2 3 1 0 10 2 = + + ∫ ∫ + ( ) ∫ = + 10 3 2 3 i t dt ( ) i 3 26 3 i 6 31 01 ( 3 i) | 31 3 3 3 = + t = + = + （ 2 ） ∫∫∫∫ + + = + + 3 i 0 3 i 0 2 2 2 2 1 2 z dz z dz z dz z dz C C 。 C1 之参数方程为 ⎩⎨⎧ == , 3 , y t x t ( 0 ≤ t ≤ 1 ) ； C2 之参数方程为 ⎩⎨⎧ == , 3 , y t x ( 0 ≤ t ≤ 1 ) 故 ( ) ∫∫ ∫ + = ⋅ + + ⋅ = + 3 i 0 10 10 2 2 2 i 3 26 z dz 9 t 3dt 3 i t i dt 6 。（ 3 ） ∫ ∫∫ ∫ ∫ + + = + = + 3 i 0 i0 3 i i 2 2 2 2 2 3 4 z dz z dt z dz z dz z dz C C 。 C 3 : z = i t( ) 0 ≤ t ≤ 1 ； : 3 i ( 0 1 ) C 4 z = t + ≤ t ≤ ，故 ( ) ∫∫ ∫ + = − ⋅ + + ⋅ = + 3 i 0 10 10 2 2 2 i 3 26 z dz t i dt 3 t i 3dt 6 2．分别沿 y = x 与 2 y = x 算出、积分 ( ) ∫ + + i x y dz 10 2 i 的值。解（ 1）沿 y = x 。此时 z = t + i t( ) 0 ≤ t ≤ 1 。 dz = ( 1 + i )dt ，于是 ( ) ()( ) ∫ ∫ + + = + + 1 i 0 10 2 2 x i y dz t it 1 i dt ( ) ( ) ( ) ∫ ⎟ = − + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ = + + = + + 10 2 i 65 61 2i 31 1 i t i t dt 1 i 。（ 2）沿 2 y = x ，此时 i ( ) 0 1 2 z = t + t ≤ t ≤ 。 dz = ( 1 + i 2 t )dt ，故 ( )( )( ) ∫ ∫ + + = + + 1 i 0 10 2 2 2 x i y dz t it 1 i 2t dt ( )( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + + = + + 10 10 2 2 3 1 i t 1 i 2 t dt 1 i t i 2 t dt ( ) i 65 61 2i 31 1 i ⎟ = − + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ = + + 。 3．设 f ( )z 在单连域 D 内解析， C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，问 [ ( )] [ ( )] ∫ ∫ C Re f z dz = C Im f z dz = 0 是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解未必成立。令 f ( )z = z ，C : z = 1，则 f (z)在全平面上解析，但是 x 3+i C2 O C 1 C 3 i C 4 y (z) 3

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 2 - [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ = π θ θ 20 Re Re i i C f z dz e de ( ) ∫ = − + = ≠ π θ θ θ θ π 20 cos sin i cos d i 0 [ ] ( ) [ ] ∫ ∫ = π θ θ 20 i i Im f z dz Im e de C ( ) ∫ = − + = − ≠ π θ θ θ θ π 20 sin sin i cos d 0 4．利用单位圆上 1 z z = 的性质，及柯西积分公式说明 2 i C zdz = π v∫ ，其中 C 为正向单位圆周| |1 z = 。解 1 2 i C C zdz dz z = = π v v ∫ ∫ ，（利用柯西积分公式） 5．计算积分 dz zz ∫ C 的值，其中 C 为正向圆周：（ 1 ） z = 2 ；（ 2 ） z = 4 解（ 1）因在 | z | = 2 上有 | z | = 2 ， | | 4 2 z ⋅ z = z = ，从而有 z z 4 = ，故有 4 i 2 | | | | 2 2 | | 2 4 = = = π ∫ ∫ = ∫ = dz z dz dz zz C z z Z （ 2）因在 C 上有 | z | = 4 ， | | 16 2 z ⋅ z = z = ，从而有 z z 16 = ，故有8 i 4 | | | | 4 4 | | 4 16 = = = π ∫ ∫ = ∫ = dz z dz dz zz C z z Z 6．利用观察法得出下列积分的值。解利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。（1） ∫C −z dz z e 2 ， C :| z − 2 | = 1 （ 2 ） 2 2 C dz z a − v∫ ，Cza a :| | − = （ 3 ） i2 1 z C e dz z + v∫ ，C z :| 2i | 3/ 2 − = （ 4 ） 3 C zdz z − v∫ ，C z :| | 2 = （ 5 ） 2 3 , ( 1)( 1) C dz z z − − v∫ Cz r :| | 1 = < （ 6 ） 3 cos C z zdz v∫ ，C z 为包围＝的闭曲线 0 （ 7 ） 2 2 ( 1)( 4) C dz z z + + v∫ ，C z :| | 3/ 2 = （ 8 ） sin C zdz z v∫ ， C :| z | = 1 （ 9 ） ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − C dz z z 2 2 sinπ ， C :| z | = 2 （10 ） 5 z C e dz z v∫ ， C :| z | = 1 解（ 1）由 Cauchy 积分公式， ∫ = = − = C z z z dz e e z e 2 i 2 i 2 2 π 2 π （ 2 ）解 1 ： ∫ ∫ = + = −+ = − = C C z a z a a dz z a z a z a dz i 1 2 i 1 2 2 π π ，解 2 ： ∫ ∫ ∫ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − − = C C − C dz z a dz z a a z a dz 1 1 21 2 2 [ ] 2 i 0 i 21a aπ = π − = （ 3）由 Cauchy 积分公式， ii i 2 i /( i) 2i / 1 -i i zz z C C z e dz e dz z e e zzz π π = + = == + + v v ∫ ∫

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 4 - 4 ） 1 6 , i 2 5 C dz C z i ± ± v∫ 其中为以，为顶点的正向菱形－ 5 ） 3 , | | 1 :| | 1 ( ) z C e dz a a C z z a ≠ = − v∫ 其中为的任何复数，为正向解 1 ） 4 3 ( ) 2 i(4 3) 14 i 1 2i C dz z z + += π π + + v∫ ＝ 2 ） 2 | i| 1 | i| 1 2i 2 /( i) 2 /( i) 0 1 -i i Cz z iz iz dz dz dz zzz −= += + − =+= + + vv v ∫∫ ∫ 3 ） 12 1 2 333 0 0 cos cos cos 2 i 2 i (cos )'' | (cos )'' | 0 2! 2! z z CC C C C zzz dz dz dz z z zzz π π − = = = + =−= − = v vv ∫ ∫∫ 4 ） 2 i i C dz z = π v∫ － 5 ）当| |1 a > 时， 3 3 1/( ) | | 1 0 ( ) z C e z a z dz z a − ≤ − 在上解析，故＝ v∫ ；当| |1 a < 时， 3 2 i ( )'' | i ( ) 2! z z a z a C e dz e e z a π = = π − v∫ ＝ 10．证明：当 C 为任何不通过原点的简单闭曲线时， 21 0 C dz z = v∫ 。证明当原点在曲线 C 内部时， 2 0 1 2 i(1)' | 0 z C dz z = π = = v∫ ；当原点在曲线 C 外部时， 2 1/ z 在 C 内解析，故 21 0 C dz z = v∫ 。 11．下列两个积分的值是否相等？积分 2）的值能否利用闭路变形原理从 1）的值得到？为什么？ 1 ） || 2 z z dz z =v∫ ； 2 ） || 4 z z dz z =v∫ 解 2 i || 2 0 2i 0 z z dz e d z π θ θ − = = = v∫ ∫ ； 2 i || 4 0 4i 0 z z dz e d z π θ θ − = = = v∫ ∫ ，故两个积分的值相等。但不能利用闭路变形原理从 1）的值得到，因 zz 不是一个解析函数。 12．设区域 D 为右半平面， z 为 D 内圆周| |1 z = 上的任意一点，用在 D 内的任意一条曲线 C 连结原点与 z ，证明 2 0 1 Re . 1 4 z d π ζ ζ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ∫ 证明函数 2 1 1 + ζ 在右半平面解析，故在计算从 0 到 z 沿任意一条曲线 C 的积分时与积分路径无关。则 i 1 2 2 2i 0 00 0 1 1 i 2i cos . 1 1 1 4 2 2cos 2 z e d dx d d x eη θ θ η π η ζ η η ζ η = + =+ + ++ + ∫ ∫∫ ∫ （分子分母同乘以 2i 1 e− η + ）

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 5 - B1 C1 C2 B2 M N E F B G H 故 2 0 1 Re . 1 4 z d π ζ ζ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + ∫ 13．设 C1 与 C2 为相交于 M 、 N 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 B1 与 B 2 。 B1 与 B 2 的公共部分为 B 。如果 f ( )z 在 B1 − B 与 B2 − B 内解析，在 C1 、 C2 上也解析，证明： 1 2 () () C C f z dz f z dz = v v ∫ ∫ 。证明在 B1 − B 上 f ( )z 为解析函数，则由柯西基本定理 () 0 MENGM f z dz = v∫ ；同理 () 0 MHNFM f z dz = v∫ 则 () () () () NGM MEN MHN NFM f z dz f z dz f z dz f z dz +=+ ∫∫∫∫ ，即 1 2 () () C C f z dz f z dz = v∫ ∫v 。 14．设 C 为不经过 a 与 - a 的正向简单闭曲线， a 为不等于零的任何复数，试就 a 与 - a 同 C的各种不同位置，计算积分 ∫C − dz z a z 2 2 。解（ i）当 a 在 C 的内部而 - a 在 C 的外部时 ∫ ∫ = + = −+ = − = C z a C z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π 。（ii）当 − a 在 C 的内部而 a 在 C 的外部时， ∫ ∫ = − = +− = − = − c c z a z a z dz z a z a z dz z a z 2 i i 2 2 π π （iii）当 a 与－ a 在 C 的内部时，设 C1 , C2 分别为以 a , − a 为心半径充分小的圆周使 1 2 C , C 均在 C 的内部且互不相交也互不包含，则由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式得 ∫ ∫ ∫ = + = +− + −+ = c c − c dz i i i z a z a z dz z a z a z dz z a z 1 2 2 2 2 π π π （iv）当 a 与－ a 都在 C 的外部时，由 Cauchy-Gourssat 定理得 ∫ = C − dz z az 0 2 2 。 15．设 C1 与 C2 为两条互不包含，也互不相交的正向简单闭曲线，证明： 1 2 2 2 0 01 0 0 0 02 1 sin , 2 i sin , C C z dz zdz z zC π zz zz z zC ⎡ ⎤ ⎧ ⎢ ⎥ + = ⎨ − − ⎣ ⎦ ⎩ v v ∫ ∫ 当在内时, 当在内时. 证明利用 Cauchy 积分公式， 0 1 当在内时, z C 0 1 2 2 20 0 1 | 2 i z z C z dz z z π z z = = = − v∫ ，而 2 0 1 sin 0 2 i C zdz π z z = − v∫ ； 0 2 当在内时, z C 1 2 0 1 0 2 i C z dz π z z = − v∫ ，而 0 2 0 0 1 sin sin | sin 2 i z z C zdz z z π z z = = = − v∫ 。故结论成立。 16．设函数 f ( )z 在 0 < | z | < 1内解析，且沿任何圆周 C ： | z | = r ， 0 < r < 1的积分为零，问 f ( )z 是否需在 z=0 处解析？试举例说明之。解不一定。如令 ( ) 21z f z = ，则其在 0 < | z | < 1内解析，且沿任何圆周 C ： | z | = r ， 0 < r < 1的积分

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 6 - ( ) ∫ ∫ = = = C z r dz z f z dz | | 2 0 1 但显然 ( ) 21z f z = 在 z=0 处不解析。 17. 设 f ( )z 与 g( )z 在区域 D 内处处解析， C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于 D。如果 f () () z = g z 在 C 上所有点都成立，试证在 C 的内部所有点处 f ( z ) = g ( z )也成立。证因 f () () z , g z 在 D 内处处解析故在 C 上及其内部也处处解析，设 0 z 为 C 的内部的任一点，则由 Cauchy 积分公式有 ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ − = − = C C dz z z g z i dz g z z z f z i f z 0 0 0 0 2 1 , 2 1π π ，又因在 C 上 f ( )z = g ( z )，故 ( ) ( ) ∫ ∫ − = C C − dz z z g z dz z z f z 0 0 ，从而 () () , 0 0 f z = g z 由 0 z 的任意性，在 C 的内部均有 f ( z ) = g ( z ) 。 18．设区域 D 是圆环域， f ( )z 在 D 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 K K 1 2 与，K K 2 1 包含， 0 z 为 K K1 2 , 之间任一点，试证（3.5.1）仍成立，但 1 2 C KK ( ). − 要换成见图 + 证明参照 78 页闭路变形定理的证明方法。 19 ．设 f ( )z 在单连通区域 D 内解析，且不为零， C 为 D 内任何一条简单光滑闭曲线，问积分 ( ) ( ) ∫C f z f ' z dz 是否为零？为什么？解等于零。因 f ( )z 在 D 内解析，故 f ( z ) 具有各阶导数且仍为解析函数，从而 f '( )z 在 D 内也解析，又因在 D 内 f ( )z ≠ 0 ，故 ( ) f ( )z f ' z 在 D 内解析，从而在 C 上及 C 的内部也解析，于是由 Cauchy-Gourssat 定理，有 ( ) ( ) ∫ = C dz f z f z 0 ' 。 20．试说明柯西－古萨基本定理中的 C 为什么可以不是简单闭曲线？ 21．设 f ( )z 在区域 D 内解析， C 为 D 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对在 D 内但不在 C 上的任意一点 0 z ，等式： 2 0 0 '( ) ( ) ( ) C C f z fz dz dz zz zz = − − v v ∫ ∫ 成立。证明利用 Cauchy 积分公式，有 0 0 0 '( ) 2 i '( ) | 2 i '( ) z z C f z dz f z f z z z = = π π = − v∫ ；而由高阶导数公式 0 2 0 0 () 2i '( ) | 2 i '( ) ( ) 1! z z C f z dz f z f z z z π = = = π − v∫ ，故所证等式成立。 22 ．如果 ϕ(, ) x y 和 ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 y x s = − ϕ ψ ， x y t =ϕ +ψ 那么 s t + i 是 x + iy 的解析函数。证明由 ϕ(, ) x y 和 ψ (, ) x y 都具有二阶连续偏导数，而 y x s =ϕ −ψ ， x y t =ϕ +ψ 知，s t, 具有一阶连续的偏导数，在证 s t, 满足 C － R 方程即可。注意 0 ϕxx yy +ϕ = ， 0 ψ xx yy +ψ = ，则 x yx xx xy yy y s t =−=+ = ϕ ψ ϕψ ； y yy xy xx yx x s t =ϕ − =− − =− ψ ϕψ ，故 s t, 满足 C － R 方程，即

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 7 - s t + i 是 x + iy 的解析函数。 23．设 u 为区域 D 内的调和函数及 i u u f x y ∂ ∂ = − ∂ ∂ ，问 f 是不是 D 内的解析函数？为什么？解 f 是 D 内的解析函数。因 u 为区域 D 内的调和函数，故 x u 和 y − u 在 D 内有一阶连续的偏导数。又 2 2 2 2 x y u uuu x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− = −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ； 2 y x uu u x xy y ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = =− −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ ，即满足 C － R 方程。 24．函数vxy = + 是uxy = + 的共轭调和函数吗？为什么？解不是。因u v + i 不能构成一解析函数。 25．设 u 和 v 都是调和函数，如果 v 是 u 的共轭调和函数，那么 u 也是 v 的共轭调和函数。这句话对吗？为什么？解不对。参考 27 题的第二问。 26．证明：一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。证明设 v 是 u 的共轭调和函数，则 0 xx yy u u + = ， 0 xx yy v v + = ， x y u v = ， y x u v = − 。又 () 2 xx xx x x xx uv u v u v uv =+ + ， () 2 yy yy y y yy uv u v u v uv = + + ，故() () 0 xx yy uv uv + = ，即一对共轭调和函数的乘积仍是调和函数。 27．如果 f () i z uv = + 是一解析函数，试证： 1 ）i () f z 也是解析函数； 2 ） − u 是 v 的共轭调和函数； 3 ） 2 22 2 22 2 2 2 | ( )| | ( )| 4( ) 4 | '( ) | x x fz fz u v fz x y ∂ ∂ + = += ∂ ∂ 。证明 1 ）i () i f z vu = − ，而 f () i z uv = + 是一解析函数，故u v, 满足 C － R 方程，进而 ( ) x y v u = − ， ( ) y x v u =− − 。故i () f z 也是解析函数。 2）由 f () i z uv = + 是一解析函数，i () i f z vu = − 。故 − u 是 v 的共轭调和函数。 3 ） 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 | ( )| | ( )| ( )( ) fz fz u v x y xy ∂ ∂ ∂∂ + =+ + ∂ ∂ ∂∂ 2222 22 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 4( ) 4 | '( ) | x x y y xx yy xx yy x x u v u v uu u vv v u v fz = ++++ + + + = += 28．证明： 2 2 ux y = − 和 2 2 y v x y = + 都是调和函数，但是u v + i 不是解析函数。证明 2 x u x = ， 2 y u y = − ， 2 22 2 ( ) x xy v x y − = + ， 2 2 2 22 ( ) y x y v x y − = + ， 2 2 23 2 22 8 2 ( )( ) xx xy y v x y xy = − + + ， 3 2 23 2 22 8 6 ( )( ) yy y y v x y xy = − + + ，则 2 ( 2) 0 xx yy u u + = +− = ， 2 3 2 23 2 23 2 22 888 0 ( )( )( ) xx yy xy y y v v xy xy xy += + − = +++

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 8 - 29．求具有下列形式的所有调和函数 u ： 1 ）u f ax by a b = ( ), + 与为常数； 2 ） y u f x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。解 1）由 2 2 ', '', '', x xx yy u af u a f u b f == = 而 0 xx yy u u + = ，则 f '' 0 = ，即 1 2 f = ++ c ax by c ( ) 。 2）由 2 2 34 2 1 1 ', 2 ' '', ', '', x xx y yy y yy u fu f f u fu f x xx x x =− = + = = 而 0 xx yy u u + = ，则 22 1 2 1 '' 2 ' 0, arctan yy y f f fc c xx x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + == + ⎝ ⎠ 即。 30．由下列各已知调和函数求解析函数 f () i z uv = + ： 1 ） 2 2 u x y x xy y =− + + ( )( 4 ) ； 2 ） 2 2 , (2) 0 y v f x y = = + ； 3 ）u x yf = − =− 2( 1) , (2) i ； 4 ） arctan , 0 y v x x = > 。解 1 ） 2 22 2 3 6 3, 3 6 3 x y u x xy y u x xy y =+− =−− ，则 2 22 2 2 '( ) i 3 6 3 i(3 6 3 ) 3(1 ) x y f z u u x xy y x xy y i z =− = + − − − − = − ，故 3 f z iz cc ( ) (1 ) i , =− + ∈ \ ； 2 ） 22 22 2 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2i 1 '( ) i i ( ) ( ) ( ) () y x x y xy x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − −− =+ = + = = = ++ + ，故 1 11 ( ) , (2) 0 ( ) 2 fz c f fz z z =− + = = − 又，则； 3 ） '( ) i 2 2i( 1) 2i( 1 i ) 2i( 1) x y fz u u y x x y z = − = − − =− − + =− − ，故 2 2 fz z c f fz z ( ) i( 1) , (2) i ( ) i( 1) =− − + =− =− − 又，则； 4 ） 22 22 22 i 1 '( ) i i y x x y xy z fz v v x y x y x y zz z − − =+ = + = = = + ++ ，故 f z z cc ( ) ln , = + ∈ \ 。 31．设 sin px ve y = ，求 p 的值使 v 为调和函数，并求出解析函数 f () i z uv = + 。解 2 sin ( 1) 0 px xx yy v v e yp + = −= ，知 p = ± 1。当 p = 1时， () , z f z e cc = + ∈ \ ；当 p = − 1时， () , z f z e cc − =− + ∈ \ 。 32．如果uxy (, ) 是区域 D 内的调和函数， C 为 D 内以 0 z 为中心的任何一个正向圆周： 0 | | zz r − = ，它的内部完全含于 D 。试证： 1 ）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆周 C 上的平均值，即 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2 ）uxy (, ) 在 0 0 (, ) x y 的值等于uxy (, ) 在圆域 0 0 | | zz r − ≤ 上的平均值，即 0 2 00 0 0 2 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) r u x y u x r y r rd dr r π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ∫ 。证明 1）由平均值公式（P86 ）

我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ - 9 - 2 0 0 0 1 ( ) ( e) 2 i f z fz R d π θ θ π = + ∫ 只取其实部有： 2 00 0 0 0 1 ( , ) ( cos , sin ) 2 ux y ux r y r d π ϕ ϕ ϕ π = ++ ∫ ； 2）由 1）知 0 0 2 2 2 0 0 00 00 00 0 0 0 1 1 ( cos , sin ) 2 ( , ) ( , ) r r u x r y r rd dr u x y rdr u x y r r π ϕ ϕϕ π π π ++ = = ∫∫ ∫ 。 33．如果 f () i z uv = + 在区域 D 内处处解析， C 为 D 内的正向圆周：| | z = R ，它的内部完全含于 D 。设 z 为 C 内一点，并令 2 zRz = / ，试证 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫ v v 。证明因 z 为 C 内一点， 2 2 | | | / | /| | | | R z Rz R z RR z = = => ，故 f ( )z ζζ − 在 C 及其内部解析。由 Cauchy 基本定理知： 2 () () 0 C C f zf d d z zR ζ ζ ζ ζ ζ ζ = = − − ∫ ∫ v v 。 34．根据柯西积分公式与习题 33 的结果，证明 2 2 2 1 1 1 ( )() () ( ) 2 i 2 i ( )( ) C C z R zz f f z fd d z R z zR z ζ ζζ ζ πζ ζ πζ ζ ⎡ ⎤ − =+ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − − −− v v ∫ ∫ ，其中 C 为| | z = R |. 证明由柯西积分公式有： 1 () ( ) 2 i C f f z d z ζ ζ π ζ = − v∫ ；而由 33 题结果知 2 ( ) 0 C zf d z Rζ ζ ζ = − v∫ ，故将这两式相减即得。 35 如果令 i i Re, e z r θ ϕ ζ = = ，验证 2 22 / i . ( )( ) ( )( ) R 2 cos( ) dd d z R z z z Rr r ζ ζζ θ ζ ζ ζ ζ θϕ = = − − − − − −+ 并由 34 题的结果，证明 22 i 2 2 2 0 1 ( )( e) ( ) 2 2 cos( ) R r fR f z d R Rr r θ π θ π θϕ − = − −+ ∫ . 取其实部，得 2 2 2 2 2 0 1 ( ) ( cos , sin ) ( , ) ( cos , sin ) 2 2 cos( ) R r uR R uxy ur r d R Rr r π θ θ ϕ ϕ θ π θϕ − = = − −+ ∫ 这个积分称为泊松（Poisson）积分。通过这个公式，一个调和函数在一个圆内得值可用它在圆周上的值来表示。证明 2 R R i R Re θ ζ ζ ζ − = =⋅ = ，故 2 2 / / . ( )( ) ( )( ) ( )( ) ddd zR z z z R z z ζ ζζ ζζ ζ ζ ζζ ζ ζ = = − − −− − − 又 i i d iR e d id R eθ θ ζ θ θ ζ ⋅ = = ⋅ ， 2 2 ( )( ) 2 cos( ) ζ ζ θϕ − −= − −+ z z R Rr r ，故