东北财经大学：《随机过程——金融资产定价之应用》第八章 随机积分—Ito积分

第八章随机积分一Ito积分 第一节引言 第二节Ito积分的理论 第三节Ito积分的特征 第四节Ito定理及应用 第五节更复杂情况下的It0公式

第八章 随机积分 — Ito积分 第一节 引 言 第二节 Ito积分的理论 第三节 Ito积分的特征 第四节 Ito定理及应用 第五节 更复杂情况下的Ito公式

第一节引言 、Ito积分的导出 在物理现象中是用微分方程来描述其模型, 而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微 分与积分的关系,建立相应的积分方程。 但在随机环境中,由于不可预测的“消息”不 断出现,并且表示现象动态性的等式是这些噪音的 函数,这就无法定义一个有效的导数,建立一个微 分方程。然而,在某些条件下可以定义一个积分 Ito积分,建立积分方程。 首页

第一节 引 言 一、 Ito积分的导出 在物理现象中是用微分方程来描述其模型， 而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微 分与积分的关系，建立相应的积分方程。 但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不 断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的 函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微 分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分— Ito积分，建立积分方程。 首页

前面讨论的随机微分等式,其中的项dS、W 都只是近似讨论,而没给出精确的解释。但如果给出 Ito积分的定义,反过来才能更确切地讨论。 即若用微分方程 ds, =a(s, t )dt+o(s,, t)dw, 代表资产价格S,的动态行为,那么能否对两边取 积分,即 nds,=a(su, u)du+ o(su, u)dw 也就是说,是否等式右边第二项的积分有意义? 为解释此项积分的含义,需引进Ito积分 首页

前面讨论的随机微分等式，其中的项 都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出 Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。 即若用微分方程 代表资产价格 的动态行为， 那么能否对两边取 积分，即 ( , ) ( , ) , t t t dWt dS = a S t dt + S t t S u t u t u t dSu a(S ,u)du (S ,u)dW 0 0 0 = +  也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？ 为解释此项积分的含义，需引进Ito积分 dSt 、dWt 首页

也就是说,一旦定义Ito积分,则上积分等式才有意义 即有S4-S2=「"as.)+"a(s,m)m,首页 其中h为一定的时间间隔。 若a(S2)和o(S,)是S和u的平滑函数, 即当h很小,它们在a∈[t,t+小内变化都不大 则上等式改写为 Sith-S,=a(S, of du+(S, of dwu Suh-S=a(s,,th+o(s,, tlWh-WI 或△S=a(S1,Dh+o(S2D)△W 这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式

也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义 即有 其中h为一定的时间间隔。 若 则上等式改写为 u t h t u t h t St h St  a(Su ,u)du  (S ,u)dW + + + − = +    + + + −  + t h t t u t h t St h St a(St ,t) du (S ,t) dW 即 ( , ) ( , )[ ] t h t t t Wt h Wt S + − S  a S t h + S t + − 或 t t t Wt S  a(S ,t)h +(S ,t) 这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式 a(S ,u) u 和 (S ,u)  u 是Su 和 u 的平滑函数， 即当 h 很小，它们在u [t,t + h] 内变化都不大 首页

此表示式为一近似式,其精确公式为 ds,=a(s,, t )dt +o(S,, t)dw 二、Ito积分的重要性 首先随机微分方程只能根据o积分方程来定义,要 理解随机微分方程的真正含义,必须首先理解 Ito积分。 其次在实际运用当中,经常先用固定的时间间隔, 得出随机微分方程的近似值,然后再通过Ito积 分就可以给出近似值的精确形式。 首页 返回

此表示式为一近似式，其精确公式为 t t t dWt dS = a(S ,t)dt +(S ,t) 二、Ito积分的重要性 首先 随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要 理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解 Ito积分。 其次 在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔， 得出随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积 分就可以给出近似值的精确形式。 首页 返回

第二节Ito积分的理论 Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不 可预测的随机增量的总和。 一、Io积分的定义 布朗运动维纳过程{W(t),t≥0} E[W()]=0 首页 Varlw(t)-w(s=ot-s R(s,t=0 min(s,t) 如σ=1 w(t) 标准布朗 果 O≠1 w(t/o 运动

第二节 Ito积分的理论 Ito积分是用来定义随时间的变化无法统计和不 可预测的随机增量的总和。 布朗运动 维纳过程{W (t) ，t  0 } E[W (t)] = 0 ( , ) min( , ) 2 R s t = s t [ ( ) ( )] | | 2 Var W t −W s = t − s 如 果  =1  1 W (t) 标准布朗 W (t)/ 运动 一、Ito积分的定义 首页

定义1设{x(D),t∈[a,b]}为二阶矩过程,0≤a<b。 W()是标准布朗运动满足 R(S, t)=min(s, t) Var[w(t-W(s=t-s 对的一组分点a=1<t1<…<t △n=max(tk-tk=1) l≤k<n 作和式1n=∑X(-)W()=W(2) 如果均方极限1.i.mLn存在 n→o 则称此极限为X(t)关于W(t)的to积分, 记为 b ()I X(tdw(t) 首页

定义1 满足 设{ X(t) ,t [a,b] }为二阶矩过程，0  a  b 。 W (t) 是标准布朗运动 R(s,t) = min( s,t) Var[W (t) −W (s)] =| t − s| 对[a,b]的一组分点 a = t 0  t 1  t n = b max ( ) 1 1 −    = k − k k n n t t 作和式 ( )[ ( ) ( )] 1 1 1 − − = =  k k − k n k n I X t W t W t 如果均方极限 n I n →  l.i.m 存在 则称 此极限为X(t) 关于W (t) 的 It o 积分， 记为 (I) X(t)dW(t) b a 首页

注意在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式 Yn=∑X(W(k)-W() fk∈[ k-17k 原因是当t在[tk1,(k]中任意选择时,Yn的均方极限将不存在 所以这里取固定的左端点。 定理1设X()均方连续,且对任意s1s2≤1<及S<21 (X(s1),X(S2),W(S2)-W(S1)与W(4)-W(t1)相互独立 则X(t)关于W(t)的Ito积分存在且唯 首页

注意 在定义中不能按通常的黎曼积分那样作和式 原因是 即 所以这里取固定的左端点。 ( )[ ( ) ( )] 1 1 − = =  k  k − k n k n Y X t W t W t [ , ] k k 1 k t t t  −  当 k t 在[ , ] k 1 k t t − 中任意选择时，Yn 的均方极限将不存在 定理1 设 X(t) 均方连续，且对任意 k k s  s   t  t 1 2 −1 , 及 1  2  k−1 s s t ( ( ), ( ), 1 2 X s  X s  ( ) ( )) 2 1 W s −W s 与 ( ) ( ) k − k−1 W t W t 相互独立 则 X(t) 关于W (t) 的 It o 积分存在且唯一 首页

定理2设{W(t),t≥0}是维纳过程 对[a,b]的一组分点:△ a=ok=1l 证令△WK=W()-W()△k=tk E∑AHk-(b-a)2=E∑(△Wk2-42 k=1 ∑E(△W2-△)+∑(△W2-△1)△W2-△) ∑ 首页 E(△W-2△W·△t+△t k=1

定理 2 设{W (t) ,t  0 }是维纳过程 对[a,b]的一组分点： a = t0  t 1    t n = b max ( ) 1 1 −    = k − k k n n t t 则 n →  l.i.m 2 1 1 ( ( ) ( )) − = k − k nk W t W t = (b − a) 证 令 ( ) ( )  k = k − k − 1 W W t W t  k = k − k − 1 t t t 则 2 2 1 E [ W ( b a)] k n k  − − = 2 2 1 [ ( )] k k n k = E   W −  t = 2 2 1 ( ) k k n k =  E  W −  t = [( )( ) 2 2 i i j j i j +  E  W −  t  W −  t  ( 2 ) 4 2 2 1 k k k k n k =  E  W −  W  t +  t = 首页

=2(E[△W(1-E24W2△1+EM3)首页 =∑(3A2-2△2+△ k=1 ∑△2≤2△∑△=2△(b △→>0 0因为△W()~N(0,△(k +∞ E[△W(k)= 42△t xe dx eAT 3△ k x2e2Mcx=3△tE[△W(t) 2△t,∞

因为 (3 2 ) 2 2 2 1 k k k n k =  t − t + t = ( [ ] [2 ] [ ]) 4 2 2 1 k k k k n k =  E W − E W t + E t = 2 1 2 k n k =  t = k n k n    t =1 2 2 (b a) = n − n →0 0 ( ) ~ (0, ) k k W t N t 4 [ ( )] k E W t x e dx t k t x k  + −  − = 4 2 2 2 1  x e dx t t k t x k k  + −  −  = 2 2 2 2 3  2 3 [ ( )] k k = t E W t 首页