拉氏变换习题解答 习题 求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果 (1)f()=sin:(2)f()=c;(3)f(1)=t2 (4)f()=sintcost (5)f()=sinh kt: (6)f(=coshkt: (7)f()=cos t; (10)f()=cost 解)df(O)=-lsin2e-"b= e -s+1 2 2 4s2 (5 a[(O]=∫ree"feh= -(S+2)s+2 (Res>-2) (3)a[(o]=te"dr + 2te- dt 2+ dt (4)sf(r) sin t cos tedt sin 2te dt= 6d-shoch2C-c“m={h-c) {k k stk 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 拉氏变换习题解答 习题一 1．求下列函数的拉氏变换 ,并用查表的方法来验证结果. (1) ( ) sin 2t f t = ； (2) ( ) 2 t f t e − = ； (3) ( ) 2 f t = t ； (4) f ( )t = si n t cos t ； (5) f ( )t = sinh kt ； ( 6 ) f ( )t k = cosh t ； (7) ( ) 2 f t = cos t ; (10) ( ) 2 f t t = cos . 解 (1) & ( ) i i 2 2 0 0 ( ) sin 2 2 i t t st st t e e e f t e dt dt − − +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ i i ( ) ( ) 2 2 0 1 ( ) 2i s t s t e e dt +∞ − − − + = − ∫ i i ( ) ( ) 2 2 1 0 0 2i i i 2 2 | | s t s t e e s s ⎡ − − +∞ + − + ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ − + − − ⎥ ⎣ ⎦ i i 1 1 1 1 2 2 2i i i 2i i i 2 2 2 2 s s s s s s ⎡ ⎤ + − + ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ = ⎛ ⎞⎛ ⎢ ⎥ − + ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎞⎟⎠ ( ) 2 2 1 2 2 Re 0 1 4 1 4 s s s = = > + + (2) & ( ) 2 ( 2 ) 0 0 t s t s t f t e e d t e +∞ +∞ − − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ d t ( ) ( 2 ) 0 1 Re 2 ( 2 ) 2 | s t e s s s +∞ − + = = > − + + − (3) & ( ) 2 2 0 0 0 1 | 2 st st e st f t t e dt t t e dt s s − +∞ +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = − + ⎣ ⎦ ∫ ∫ 2 2 0 0 2 2 | st s t te e dt s s +∞ +∞ − − = − + ∫ ( ) 3 2 0 2 2 | Re 0 st t e s s s +∞ − = = − = > (4) & ( ) 0 0 1 sin cos sin 2 2 st s t f t t te dt te dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( 2 i ) ( 2 i ) 0 1 4i s t s t e e dt +∞ − − − + = ⎡ ⎤ − ∫ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − + − − − = +∞ − + +∞ − − 4 i 2 i 2 i 1 | | 0 ( 2i) 0 ( 2i) s e s e s t s t ( ) Re 0 4 1 2 i 1 2 i 1 4 i 1 2 > + ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − − = s s s s (5) & ( ) 0 0 sinh 2 kt kt st e e st f t kt e dt e dt − +∞ +∞ − − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 12 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = − ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = − − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re m a x { , } 2 k s k s k s k s k ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k - 1 -
(6)[5()]= cosh kte"dt=J. -(s-k)r (s+k) 1 k s-ks+k丿s2-k2 (Res> max(k,-k) (S+ o(-9h=2(+l2b COS 2r.e-5 ss2+4丿s(s2+4) s()-5sn"th=20(-c02y cos 2t-e dt 2(ss2+4人s2+4) (Res>o 2.求下列函数的拉氏变换 0≤t<2 (1)f()= 2≤t<4 2)f() 丌 (3)f()=e2+56() (4)(=8()cost-u()sint (2)elr(]r red F3e"dt +f cost-e"dr 2e=-e2+(e"+e e++e 33=+1 3_3e2 (s-1)-(s+1) S+1 (3)/()=Cp+5d"cc"m+5列0“h 5s-9 (4)<[(]=8() cost.e"dt- sin te"dt=cost e" s2+1s2+1 设∫()是以2z为周期的函数且在一个周期内的表达式为 ()={m,0≤x,求Li 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ (6) & ( ) 0 0 co s h 2 kt kt st e e st f t kt e dt e dt − +∞ +∞ − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 12 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = + − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re m ax{ , } 2 s s k s k s k s k ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k (7) & ( ) ( ) 2 0 0 1 cos 1 cos 2 2 st s t f t t e dt t e dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = + ⋅ ∫ ∫ +∞ − +∞ − e dt t e dt st st 0 0 cos 2 21 ( ) Re 0 ( 4) 2 4 1 21 22 2 > ++ ⎟ =⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = + s s ss s s s (8) & ( ) ( ) 2 0 0 1 sin 1 cos 2 2 st st f t t e dt t +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ e dt ( 0 0 ) 1 co s 2 2 st st e dt t e dt +∞ +∞ − − = − ⋅ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 2 Re 0 2 4 ( 4 ) s s s s s s ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = > ⎝ ⎠ + + 2．求下列函数的拉氏变换. (1) ( ) ; ( 2 ) ( ) 4 . 2 4 0 2 0 ,1 , 3 , ≥≤ < ⎩⎨⎧ = tt t f t (3) ( ) 5 ( ). ; ( 4 ) 2 f t e t t = + δ f ( t ) = δ ( t )cos t − u ( t )sin t . 解 （ 1 ） &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − +∞ − − = = − 4 0 2 20 f t f t e dt 3 e dt e dt st st st ( 3 4 ) 1 3 3 2 4 42 20 | | s s st st e e s s e s e − − − − + = − + − = （ 2 ） &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + ∞ − − + ∞ − = = + ⋅ 2 2 0 0 3 cos π st π st st f t f t e dt e dt t e dt ∫ + ∞ − − = − + + − = 2 i i 2 0 2 3 | π π e dt e e e s st t t t st ∫ + ∞ − − − + − = − + + 2 2 ( i) ( i) ( ) 2 3 3 1 π π e e e dt s s s t s t s ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − + + − − = − + +∞= − + +∞= − − − 2 ( i) ( i) 3 3 1 | | 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s t s t t s t πs π π ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ + − − = − + − − − + − 2 i i 3 3 1 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s s s s π π π 2 2 2 1 3 3 1 s s e s e s s π π − − + = − − （ 3 ） &[ ] f ( )t [ ] e t e dt e e dt ( )t e dt t st t st −st +∞ +∞ − +∞ − ∫ ∫ ∫ = + = + 0 0 2 0 2 5 δ ( ) 5 δ ( ) 2 5 9 5 2 1 5 2 1 | 0 −− + = − + = − = = − − +∞ ∫− ∞ ss e s t e dt s t st st δ （ 4 ） & ( ) ( ) 0 co s s i n st s t f t δ t t e dt te dt +∞ +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ − ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 0 | + = + = − + = ⋅ − = − s s s s t e t st 3．设 f ( t )是以 2 π 为周期的函 数 , 且在一个周期内的表达式 为 ( ) ⎩⎨⎧ < < < ≤ = π π π2 0 0 , sin , t t t f t ，求 & [f ( t ) ]. - 2 -
解周期为T的函数f()的拉氏变换为 因此有 o)=-e=-kh=1-e=mrc“b 1-e)x1-e(x+)x +1)=1-e-m+1=)s+ 4求下列各图所示周期函数的拉氏变换 4b t f() f() 解(1)由图易知f(是周期为b的函数且在一个周期内的表达式为 f()=t,0≤t<b 由公式 1+bs b s2 sl-e-bo) (2)已知f()是周期T=x的周期函数在一个周期内 sin t 0≤t<丌 由公式 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 解 周期为 T 的函数 f ( )t 的拉氏变换为 &[ ] ( ) ( ) , (Re 0 ) 1 1 . 0 > − = ∫ − − f t e dt s e f t T st sT 因此有 &[ ] ( ) ( ) t e dt e f t e dt e f t st s st s − − − − ⋅ − = − = ∫ ∫π π π π 0 2 20 2 sin 1 1 1 1 ∫ − − − − − = π π 0 i i 2 1 2 i 1 e dt e e e st t t s ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − + − − − ⋅ − = = − + = − − − 2 i i i 1 1 1 | | 0 ( i) 0 ( i) 2 s e s e e t s t t s t s π π π ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − − − − ⋅ − = − − − + − i 1 i 1 2 i 1 1 1 ( i) ( i) 2 se se e s s s π π π ( ) 1 ( 1 ) 1 1 1 1 1 2 2 2 − + = + + − = − − − s e s e e s s s π π π 。 4 .求下列各图所示周期函数的拉氏变换 ( 1 ) ( 2 ) O π t 2 π f t( ) f ( t ) b O b 2b 3b 4 b t ( 3 ) ( 4 ) f ( )t 1 O 4a 5 a t 2 a 3a a -1 t 5b f ( t ) b 2 b 3 b 4 b 1 O -1 解 (1)由图易知 f ( t )是周期为 b 的函数 ,且在一个周期内的表达式为 f ( t ) = t , 0 ≤ t < b 由公式 &[ ] ( ) ∫ − − − = b st bs te dt e f t 1 0 1 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − − − − = ∫ − − − b st b bs bs e dt s te e s 0 0 1 1 1 1 | ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − − − = − − − 1 1 1 1 2 bs bs bs e s s be e 21 1 1 s bs bse e bs e bs bs bs − + − − ⋅ − = − − − ( ) bs s eb s bs − − − + = 1 1 2 (2)已知 f ( )t 是周期 T = π 的周期函数 ,在一个周期内 f t( ) = si n t , 0 ≤ <t π 由公式 - 3 -
e[(]=,-bsJo sin te"dr (3)由图可知f()是周期T=4a的周期函数在一个周期内 a<t 0,3a 由公式 clfo dt tanh d (4)由图易知,f()是周期为2b的周期函数在一个周期内 由公式 6- -bs⊥a-2b-b e+e 习题二 求下列函数的拉氏变换式 (1)f(t)=t2+3+2 (2)f()=1-e (3)f()=(-1)e (4)f(=sin at (5)f(0=tcosat (6)f(=sin 2r 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ & ( ) 0 1 sin 1 st bs f t t e dt e π − − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ − ∫ 2 1 1 1 1 s s e e sπ −π + = − + 2 1 co t h 1 2s s π = + (3)由图可知 f ( )t 是周期 T = 4 a 的周期函数 ,在一个周期内 ( ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < − = a t a a t a a t a t a f t 3 4 2 32 0 0 ,1 , 0 , 1 , 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = a st as f t e dt e f t 40 4 1 1 ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − − = − − − ∫ ∫ e dt e dt e st aa a st as 3 0 2 4 1 1 1⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − − − − = = − = − − s e s e e a t a st at st as 3 0 2 4 1 1 s e e e e as as as as 3 2 4 1 1 1 − − − − − + − ⋅ − = ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) as as as as as as as s e e e e s e e e − − − − − − − + + − + = − − − = 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 ( ) ( ) 22 1 1 1 tanh 1 1 1 as as as as e as s e e s e − − − − − = ⋅ = + + + (4)由图易知 , f ( t )是周期为 2 b 的周期函数 ,在一个周期内 ( ) ⎩⎨⎧ − ≤ < ≤ < = b t b t b f t 1 , 2 1 , 0 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = b st bs f t e dt e f t 20 2 1 1 ( ) ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − − = ∫ ∫ − − − b st b b st bs e dt e dt e 0 2 2 1 1 1 ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − − − − = = − = − − s e s e e b t b st bt st bs | | 2 0 2 1 1 s e e e e bs bs bs bs − − − − − + − ⋅ − = 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 1 tanh 1 2 bs bs e bs s e s −− − = ⋅ = − 习题二 1．求下列 函数的拉氏变换 式. （ 1 ） ( ) 2 f t t = + 3 t + 2 （ 2 ） ( ) t f t = 1 − te （ 3 ） ( ) 2 ( 1) t f t t = − e （ 4 ） ( ) at t f t sin 2α = （ 5 ） f ( )t t = co s a t （ 6 ） f ( t ) = 5sin 2 t − 3cos 2 t - 4 -
(7)f(=e-27sin 6t (8)f(1)=ecos4 (9)f()=r"e (10)f()=u(3t-5) (11!y)=-e-) (12)f() 解(1)利用< d)-[2+3+21-h]+32|+2c (2)cf (3)(-叫(-)e]=叫2-2+)2]=2el+e (4)elf( s+a (5)&(=<tcos at] cos at] s2 (s2+a2)2 (6)(2=cbmy3215m2小-3m2=-10 4s2+4s-+4 (7)<[f( sIn 6t (s+2)2 这里有 eosin 6r] 6 s2+36 再利用位移性质得到 (8)同(7)利用os4] 及位移性质 ezl(=ecos 4t 4 (s+4)+16 (9)利用]=m及位移性质得 ()-s 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （7） f ( )t = e−2t sin 6 t （ 8 ） ( ) 4 cos 4 t f t e − = t （ 9 ） f ( )t = t n e αt （10 ） f ( t ) = u ( 3 t − 5 ) （11 ） f ( )t = u (1 − e − t ) （12 ） ( ) t e f t 3 t = 解 （ 1）利 用 &[ ] ( ) , 1 1 1 > − Γ + = + α αα α s t ， & [f ( )t ] = & & 2 ⎡ ⎤ t t + + 3 2 = ⎣ ⎦ 2 ⎡ t ⎤ + 3 ⎣ ⎦ & 32 t 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ & [1 ] 3 2 2 3 2 s s s = + + （ 2 ） & [f ( )t ] = &[ ] − = & & t 1 te [ ]1 − [ ] t te dsd s = + 1 &[ ] ( ) 2 ' 1 1 1 1 1 1 − ⎟ − = − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = − s s s s e t （ 3 ） & [f ( )t ] = & & 2 ( 1) t ⎡ ⎤ t − = e ⎣ ⎦ 2 ( 2 1 ) t ⎡ t t − + e ⎤ = 22 d ds & [ ] ＋ 2 t e d ds & [ ] ＋ &[ ] t e t e ⎣ ⎦ 2 3 4 5 ( 1 ) s s s − + = − （ 4 ） & [f ( )t ] = & a at at 21 sin 2 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ & [tsin at ] dsd 2a1 = − & [sin at ] 2 2 2 2 1 ' 2 ( a s a s a s a ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 ) （ 5 ） & [f ( )t ] = & [t a cos t ] = － d ds & [cos at ] 2 2 2 2 2 2 ' ( ) s s s a s a ⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 a （ 6 ） & [f ( )t ] = & [ 5sin 2 t − 3 cos 2 t ] = 5 & [sin 2 t ] − 3 & [cos 2 t ] 4 10 3 4 3 4 102 2 2 +− = + − + = s s s s s （ 7 ） & [f ( )t ] = & 2 2 6 sin 6 ( 2 ) 3 6 t e t s − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + 这里有 &[ ] 36 6 sin 6 2 + = s t 再利用位移性质得到. （8）同（7）利用&[ ] 16 cos 4 2 + = s s t 及位移性质 &[f ( )t ] = & ( ) 4 24 cos 4 4 1 t s e t s − 6 + ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + （ 9）利用 &[ ] 1 !+ = n n s n t 及位移性质得&[f ( t ) ] = & [ ] ( ) 1 ! + − = n n at s an t e - 5 -
(10)解法1由u(3-5) (=sx-5)=-5k“at 解法2由相似性质 aSS 由位移性质 an(3) (1)因为-)-1-c>00 所以 =C"C"e"h=! (12)利用t 2)√z 及位移性质 2.若d()F(),a为正实数,证明(相似性质)aa)=1() iE &f(at)]= f(ar e-dt=-L. f(at)e a d(ar)=FG) 3.若[f()]=F(s),证明F("(s)=e(-)”f(),Re(s)>c。特别yf()=-F(s),或 f(0)=-1[F(s),并利用此结论,计算下列各式 (1)f(O)=1esin2r,求F(s):(2)f()=∫ e-3sin2Idt,求F( (3)F(s)=ln 求f():(4)f(1)=esin2d,求F(s) 解F"(s)=cf(t dso Jo ()e"d=*" f()e"Jot=。(-)”f(le-t 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （10）解法 1 由 ( ) ⎪⎩⎪⎨⎧ <> − = 3535 0 , 1 , 3 5 tt u t & [f ( )t ] = &[ ] ( ) ( ) ∫ +∞ − − = − 0 u 3 t 5 u 3 t 5 e dt st ∫ + ∞ − +∞= − − = − = = 35 35 3 | 5 s e s e e dt s t st st 解法 2 由相似性质 &[ ] ( ) s s u t 1 31 31 3 = ⋅ = 由位移性质 &[ ] u(3t − 5) = & } 35 { 3 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ u t − s e 35 − = & ( ) 53 3 s e u t s− ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ （11）因为 ( ) ⎩⎨⎧ − > − = −− − 1 0 , 0 1 0 , 0 0 , 1 , 1 e t e t u e tt t 所以 &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ − +∞ − = = = 0 0 1s f t f t e dt e dt st st （12）利用 & 21 21 21 21 s s t π = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ Γ = ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ − 及位移性质 &[f (t)] = & 3 3 − ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ t s e t π 2．若 &[ ( f t ) ] = F ( s ) ， a 为正实数，证明（相似性质） & 1 [ ( )] ( ) s f at F a a = 。 证 & 0 0 1 1 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) s at st a s f a t f at e dt f at e d at F a a +∞ +∞ − − = = = ∫ ∫ a 3．若 &[ ( f t ) ] = F ( s ) ，证 明 ( ) ( ) n F s = &[( ) ( )] ，Re 。特 别 &[ ( ，或 n −t f t ( s ) > c tf t ) ] = − F ' ( s ) f ( )t = 1t − & ，并利用此结论，计算下列各式： 1 [ ' F s( ) ] − （1） 3 ( ) s i n 2 t f t t e − = t ，求 F s( ) ；（2） 3 0 ( ) s i n 2 t t f t t e t d − = ∫ t ，求 F s( )； （3） 1 ( ) ln 1 s F s s + = − ，求 f ( t )； （4） 3 0 ( ) s i n 2 t t f t t e t − = ∫ d t ，求 F s( )。 解 ( ) ( ) n F s = nn d ds &[ ( f t ) ] 0 0 0 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) n n st s t n s t n n d d f t e dt f t e dt t f t e dt ds ds +∞ +∞ +∞ − − = = = − ∫ ∫ ∫ − - 6 -
=c[(-1)"f()],Re(s)>c。 (1)利用公式()=-F(s) 2t ele sin 2t 4(S+3) (S+3)+2 (s+3)+4 (2)由积分性质 sin 2rd s(ds+3)+4 再由像函数的微分公式 (= 4 (3)F()=/h1 ezt-sinht, f(0=-sinht (4)s[f()= te-sin 2td 1 dSre"sin 2rd ] ale"sinza= x 4 若f()=F(s),证明<() ∫F(k或/O=[F·并利用此 结论,计算下列各式 sin kt (1)f(1)=,求F(S) (2)f(1)= sin21,求F(s) (3)F(s)= (2-求; (4)f(1) esin2dt,求F(S) 解∫F()等G(“hJ0eh= f(De"d=df( sin kt (1)F(s) m如=厂 du= arctan =--arctan - arc cot (2)F(s)=e desim2zl-r de="snalu-r' du= arctan u+3)2+4 s+3 arctan re cot du 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ＝ &[( ) ( )] ， Re 。 n −t f t ( s ) > c （ 1）利用公 式 &[ ] tf (t) = − F ' ( s ) & [f ( )t ] = & 3 sin 2 t d te t ds − ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ & 3 [ s i n 2 ] t e t − 2 2 2 2 2 4 ( ( 3) 2 ( 3) 4 s s s ⎛ ⎞ + = −⎜ ⎟′ = ⎝ ⎠ + + ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 3) （ 2）由积分性质 & s e d t 1 sin 2 0 3 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∫ − τ τ τ & [ ] ( ) 3 4 1 2 sin 2 2 3 + + = ⋅ − s s e t t 再由像函数的微分公式 &[f ( )t ] = & ( ) ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ + + = − ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∫ − [ 3 4 ] 2 sin 2 2 0 3 ds s s d t e d t τ τ τ ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 12 13 + + + + = s s s s （ 3 ） 2 1 1 '( ) ln ' 2 1 1 s F s s s ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ − − & 2 t t inh ] t [ s ，知 2 f ( )t t sinh t = （ 4 ） & [f ( )t ] = & 3 0 1 sin 2 t t te tdt s ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ & [te t ] t sin 2 − 3 ( ) [ ] ( ) 2 2 3 4 4 3 + + + = s s s 4．若 &[ ( f t ) ] = F ( s ) ，证 明 & ( ) ( ) s f t F s ds t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ，或 f ( )t t = &－1 ( ) s F s ds ∞ ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ 。并利用此 结论，计算下列各式： （1） si n ( ) kt f t t = ，求 F s( )； （ 2 ） 3 sin 2 ( ) t e t f t t − = ，求 F s( )； （3） 2 ( ) ( 1 ) s F s s = − 2 ，求 f ( t ) ； （ 4 ） 3 0 si n 2 ( ) t t e t f t dt t − = ∫ ，求 F s( )。 解 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) st st st s s s f t F s ds f t e dtds f t e dsdt e dt t ∞ ∞ +∞ +∞ ∞ + ∞ − − − === = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ & f ( )tt ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （1） F( )s = & si n s kt t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ & [sin kt ] du 2 2 arctan | s s k u du u k k ∞ ∞ = = + ∫ arctan 2 sk π = − arc cot sk = （ 2 ） F( )s = & ∫ ∞ − ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ s t t e sin 2 t 3 &[ ] e t du t sin 2 − 3 ( ) ∫ ∞ + ∞ = + + = s s u du u | 2 3 arctan 3 4 2 2 2 3 arctan 2 + = − π s 2 3 arc cot + = s （ 3 ） f ( )t = t & ( ) 1 2 2 1 s u du t u ∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ∫ & ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ − ⋅ − ∞ − s u 1 1 2 1 2 1 = t & ( ) t t t e e s s − − = − ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − ⋅ − ⋅ 41 1 1 41 1 1 4 1 1 t t sh 2 = - 7 -
(4)F(s) sin 2t Arctan a2 [=-arc cota 计算下列积分 (2)/1-cost e- cos bt -e cos nt (4 e"cos 2tdt (6) te sin tdt t3e ) I serf.(12)」J)dh 其中er=一元=。"如称为误差函数,J() (k(2)称为零阶贝塞尔Bs 解()公式d=小得 In In 2 (s+1) √(s+1 1=< e-a cos bt -e S十a cos bt -e cosnt s+ m+n 2a2+b2 (4已知s2小=[os2e-" 因此 (5 已知m2小=二2再由微分性顾d21(2+ 得 dt 2+4 -+ 2+-+17 ds=-arctanls+ arctan ls+v2+ 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （4） F( )s = & s d t e sin 2 1 0 3 ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ ∫ − τ τ τ τ & ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − t e sin 2 t 3 τ ∫ ∞ = ⋅ s s 1 & [ ] ∫ ∞ − + + == ⋅ s t du s u e t du ( 3 ) 4 1 2 sin 2 2 3 2 3 arc cot 1 2 3 arctan 1 | + = + = ∞= s s u s u s 5．计算下列积分： (1) ∫ +∞ − − − 0 2 dt . t e e t t ( 2 ) ∫ +∞ − − 0 1 cos e dt t t t ( 3 ) ∫ +∞ − − − 0 cos cos dt t e bt e nt at mt (4) cos 2 . ( 5 ) ( 6 ) 0 3 ∫ +∞ − e tdt t . 0 2 ∫ +∞ − te dt t sin 2 . 0 3 ∫ +∞ − te tdt t (7) . sh sin 0 2 ∫ + ∞ − ⋅ dt t e t t t ( 8 ) . sin 0 2 ∫ +∞ − dt t e t t ( 9 ) sin . 0 3 ∫ +∞ − t e tdt t (10) ∫ +∞0 22 sin dt t t . (1 1 ) 0 erf . t e t +∞ − ∫ d t (12) 0 0 J (t d) t . +∞ ∫ 其中 2 0 2 erf t u t e π − = ∫ du 称为误差函数， 2 0 2 0 ( 1 ) J ( ) ( !) 2 k k k t t k +∞= − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 称为零阶贝塞尔(Bessel) 函 数。 解 (1)由公 式 ( ) ∫ ∫ +∞ ∞ = 0 0 dt t f t & [f ( )t ]ds 得 ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 2 dt t e e t t &[ ] ds s s e e ds t t ∫∞ − − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − + − = 0 2 2 1 1 1 ln 2 21 ln | 0 = ++ = ∞ ss (2) ∫ ∫ +∞ ∞ − = − 0 0 1 cos t e t &[ ] e ( )t ds t 1− cos − ( ) ∫ ∞ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + + − + = 0 2 1 1 1 1 1 ds s s s ( ) ln 2 21 1 1 1 ln | 2 0 = + + + = ∞ s s (3) ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 cos cos dt t e bt e nt at mt & [e bt e nt ]ds at mt cos cos − − − ( ) ( ) ds s m n s m s a b s a ∫∞ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + + − + + + = 0 2 2 2 2 ( ) ( ) | 0 2 2 2 2 ln 21 ∞= + + + + = s s m n s a b 2 2 2 2 ln 21 a b m n ++ = (4)已知 &[ ] ∫ +∞ − + = ⋅ = 0 2 4 cos 2 cos 2 s s t t e dt st ，因此 ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 3 133 4 cos 2 s t s s e tdt (5) &[ ] ∫ +∞ − = 0 2 te dt t 4 1 1 2 2 2 = = = = s s s t (6)已知 &[ ] 4 2 sin 2 2 + = s t 再由微分性质 &[ ] ( )2 2 2 4 4 4 2 sin 2 + ⎟′ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = − s s s t t 得 ( ) ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 2 3 169 12 4 4 sin 2 s t s s te tdt ( ) ∫ ∫ + ∞ ∞ − = ⋅ 0 0 2 sh sin 7 dt t e t t t & t ds e e e t t t ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − − sin 2 2 ∫ ∞ = 2 0 1 & ( ) ( ) [e t e t ]ds t t sin sin − 2 − 1 − 2 + 1 − ( ) ( ) ds s s ∫ ∞ ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ + + + − + − + = 0 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 21 ( ) ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = + − − + + ∞ ∞ | | 0 0 arctan 2 1 arctan 2 1 21 s s - 8 -
√2 ”snl=!(-2k -In s+1 In 5 2s+1(s+1)+4 (s+1)+4 9已知cm-利用微分性顾cwm小-{ 243-24s 24s3-24s (10 too sin 2t cm24=.24b=00= 1)∫ e-terf idt=ef √ (12) Jo(dt=a[o(oJso 6.求下列函数的拉氏逆变换 (1)F()= (2)F(3) (3)F(s) s2+4 (s+1) (4)F(s) )F(s)= 2s+3 (6)F(s) s+3 s+lXs-3 (7)F(s)= (8)F(s)= s2+4s+13 解(1)10)-(=1d21=1sm2 (3)由e r3及位移性质s[F(-a)=e“f()得 /0=e"F(S=e1 (s+1) (4)f()=s[F()= s+3 (5)(0=(=2+231=2s3X+smy 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ [ ] arctan( ) 2 1 arctan( 2 1) 21 = + − − 8 arctan 1 21 π = = (8) ∫ ∫ +∞ +∞ − = 0 0 2 sin dt t e t t &[ ] ∫ ∞ − = 0 2 21 e sin t ds t & [e ( t ) ]ds t 1 − cos 2 − ( ) ( ) | 0 2 0 2 1 4 1 ln 21 1 4 1 1 1 21 ∞ ∞ + + + ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + + − + = ∫ s s ds s s s ln 5 41 = (9)已知 &[ ] , 1 1 sin 2 + = s t 利用微分性质 &[ ] ( )4 23 2 3 4 24 24 1 1 sin +− ⎟″′ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = − ss s s t t ∫ +∞ − = 0 3 t e sin tdt t &[ ] ( ) 0 4 24 24 sin 1 4 2 3 1 3 = +− = = = s s ss s t t (10) ∫ ∫ +∞ +∞ ⎟ ′ ⎠⎞ ⎜⎝⎛ = − 0 0 2 22 1 sin sin dt t dt t t t ∫ ∫ ∞ +∞ +∞ = − + = 0 0 0 2 sin sin 2 sin 2 | dt t t dt t t t t ∫ ∞ = 0 &[ ] ∫ ∞ + = 0 4 2 sin 2 ds s t ds 2 2 arctan | 0 π = = s ∞ (11) 0 er f t e t d t +∞ − = ∫ & 1 1 1 2 erf( ) s 1 2 s t = s s = ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ + (12) 0 &[ ] 0 J (t d) t +∞ = ∫ 0 0 2 0 1 J ( ) 1 1 s s t s = = = = + 6．求下列函数的拉氏逆变换. （1） ( ) . 4 12 + = s F s （ 2 ） ( ) . 14 s F s = （ 3 ） ( ) ( ) . 1 1 4 + = s F s （ 4 ） ( ) . 3 1+ = s F s （ 5 ） ( ) . 9 2 3 2 ++ = s s F s （ 6 ） ( ) ( ) ( ) . 1 3 3 + − + = s s s F s （ 7 ） ( ) . 6 1 2 + − + = s s s F s （ 8 ） ( ) . 4 13 2 5 2 + + + = s s s F s 解（ 1 ） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 1 = − F s & t s sin 2 21 4 2 2 1 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − （ 2 ） f ( )t = & 3 ! 1 1 4 1 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣ − ⎡ s & 3 3 1 1 6 3 ! 1 t s = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − （ 3）由 & 3 4 1 6 1 1 t s = ⎥⎦⎤ ⎢⎣ − ⎡ 及位移性质 & [F ( s a ) ] e f ( t ) at − = − 1 得 f ( )t = & [ ( ) ] = − F s 1 & ( ) t t e s − − ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ + 3 4 1 61 1 1 （ 4 ） f ( )t = & [ ( ) ] = − F s 1 & t e s 1 3 3 − 1 − = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + （ 5 ） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 = − F s & + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − 9 2 1 s s & t t s 2cos 3 sin 3 9 3 2 1 = + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − - 9 -
6)f()=[F()=s s+3 (s+1)s-3) 2(s-3s+l 32|s+1 (7)f()=[()= 2 (8)f()=c6=c-2+ s2+4s+13 (s+2)+32 (s+2) (+2)+32」3(+2)+3 2e-2 31+3e= 1-2(cos 3t+sin 31) 7.求下列各图所示函数f()的拉氏变换 f(t f(t) 2r:3:4 T f(t) f() 8 1)由图易知,f()是周期为2x的周期函数在一个周期内 10 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （6） f ( )t = & [ ( )] = & − F s 1 ( ) ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − − + 1 3 1 3 s s s = & 23 1 1 3 3 2 1 1 ⎥ = ⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − − − s s & 21 s - 3 1 1 − ⎥⎦⎤ ⎢⎣ − ⎡ & ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − 1 1 1 s t t e e − = − 21 23 3 （ 7 ） f ( )t = & [ ( ) ] = & − F s 1 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − − + 6 1 2 1 s s s & ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + + − − 3 2 2 3 5 1 1 s s 53 = & 52 2 1 1 + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − s & t t e e s 1 2 3 52 53 3 − 1 − = + ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + （ 8 ） f ( )t = & [ ( ) ] = & − F s 1 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + − +4 13 2 5 2 1 s s s & ( ) ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + − + + 2 2 1 2 3 2 2 1 s s = 2 & ( ) ( ) 31 2 3 2 2 2 1 ⎥ + ⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + − + s s & ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + − 2 2 1 2 3 3 s ( ) 2 2 1 1 2 2 cos3 sin 3 6cos3 sin 3 3 3 t t t e t e t e t − − − = + = + t 7．求下列各图所示函数 f ( t )的拉氏变换. f t( ) A − Ao τ 2τ 3τ 4τ t o t f t( ) 246 τ 3τ 5τ ( 1 ) ( 2 ) o t f t( ) 2468 2 o t f t( ) 123 τ 2τ 3τ 4 ( 3 ) ( 4 ) (1) 由图易知 , f ( t )是周期为 2τ 的周期函数 ,在一个周期内 - 10 -
