傅氏变换习题解答 习题 1.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,则有 f(o= a(o)cos oddo+ b(o)sin oddo 其中 f∫(r) coordi, b(o)=f(r)sin ordr GE /(=f(r)e e drei"do=/(r)(cosot-jsinor)cos oddo ∫f()( COsT- jsin or)jsin otdrdo=」() cosordr cos oddo 广( in ordr sin ordo =S a(@)cos ordo+o b(@)sin odo 因p()mooo的奇函数,/()o偶函数 2.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,当/()为奇函数时,则有 Ar0=bla)sin(oo 其中 b(orr f()sin(or)dr 当f(为偶函数时,则有 f(=ao)cos(or o 其中 r f(e)cos(or)dr 证设f()是奇函数 /()=f()e io drea"do=/(r)(cos oT-jsin or)drei"do 广() sin ordre-o=2Jba-d.(o)是o的奇函数) 1*b(o)(cos ot jsin on)do="b(o)sin otda 设f()是偶函数 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 傅氏变换习题解答 习题一 1．试证：若 f ( t )满足傅氏积分定理的条件，则有 0 0 f ( )t a ( ω) c o sω ωtd b ( ω) s i n ωt d ω +∞ +∞ = + ∫ ∫ 其中 1 ( ) ( ) c o s , 1 ( ) ( ) s i n a f b f dd ω τ ωτ π τ ω τ ωτ τ π +∞ −∞ +∞ −∞ == ∫∫ 证 ( ) ( ) ( ) 1 1 j j (cos j sin ) cos 2 2 t f t f e d e d f ωτ ω τ τ ω τ ωτ ωτ ωtdτ d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 + (co s j s i n ) j s i n cos cos 2 1 + sin si n ( ) cos ( )sin f t d d f d t d f d t d a t d b t d τ ωτ ωτ ω τ ω τ ωτ τ ω ω π π τ ωτ τ ω ω ω ω ω ω ω ω π +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 因 f t ( ) τ ω sin τ cosω dτ d ω ω ， 。 +∞ ∫−∞ 为 的奇函数 f t ( ) τ ω cos τ cosω dτ d ω ω +∞ ∫−∞ 为 的偶函数 2．试证：若 f ( t )满足傅氏积分定理的条件，当 f ( t )为奇函数时，则有 f ( )t b (ω ) (ωt )dω ∫ +∞ = 0 sin 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 b f ω τ ω sin τ d π +∞ = ∫ τ 当 f ( )t 为偶函数时，则有 f ( )t a (ω )cos (ωt )dω ∫0 +∞ = 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 a f ω τ ω cos τ d π +∞ = ∫ τ 证 设 f ( )t 是奇函数 ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ − ∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) j 0 1 si n j t f d e d ω τ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 j 2j t b e d ω ω ω +∞ −∞ = ∫ 。 （ b (ω ) 是 ω 的奇函数） ( ) ( ) ( ) 0 1 cos jsi n s i n 2j b t ω ω ωt d ω b ω ωt d +∞ +∞ −∞ = + = ∫ ∫ ω 设 f ( )t 是偶函数
allelo doJo q(o cos oddo a(o)是o的偶函数。(注也可由1题推证2题) 3.在题2中,设/y)≈J1,|t1 l0,|t1 试算出a(o),并推证 Itk 2 t1 0,|t卜1 证f()是偶函数 2 sin 12 ()=∫0o +oo sin o cos ot cos oddo= z IK1 所以 top SIn o cos o 丌0+1 t=1 习题二 1.求矩形脉冲数/()sA,0≤t≤r 的傅氏变换 0,其他 F(a)=[(]/(e comdt=o Ae iodt A Jo 2.求下列函数的傅氏积分 0.-∞1 sin2t.t≥0 01 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ − ∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) ( ) j 0 1 cos 2 t a e d a t d ω ω ω ω ω +∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ ω a (ω ) 是 ω 的偶函数。（注也可由 1 题推证 2 题） 3．在题 2 中， 设 ( ) ，试算出 1, | | 1 0, | | 1 t f t t ⎧ ≤ = ⎨⎩ > a (ω )，并推证 0 , | | 1 2 sin cos , ||1 40 , ||1 t t d tt π ω ω π ω ω +∞ ⎧ ⎪⎩ ∫ 证 f ( t )是偶函数 ( ) ( ) ∫ = = + ∞ = ωω ω π ω π ω π ω 2 sin 0 2 sin 1 cos 0 2 t a f t tdt ( ) ( ) ∫ ∫ + ∞ = +∞ = ω ω ω ω π ω ω ω d t t a td sin cos 0 2 cos 0 f 所以 ( ) 0 | | 1 2 sin cos 0 1 | | 1 2 2 2 4 0 | | t t d f t tt π ω ω π π π ω ω +∞ ⎧ 1 ⎪⎩ ∫ = 。 习题二 1 ． 求矩形脉冲函数 , 0 ( ) 0, A t f t ⎧ ≤ ≤ τ = ⎨⎩ 其他 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) ( ) j j 0 t t f t f t e dt Ae dt ω ω τ − − +∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ −∞ ∫ ∫ j i j 0 1 1 j j j t e e e A A A τ ω ωτ ωτ ω ω ω − − − − − = = = − − 2 ． 求下列函数的傅氏积分： （1） ( ) （ 2 ） （ 3 ） 2 22 1 , 0, 1 t t f t t ⎧ − 1 ( ) ⎩⎨⎧ ≥ − < = 0, | | 1 1 , | | 1 2 t t t f t
f()= ∫0)e-da0=-- e-iedteedo 厂(- I (+ sin ot (2t cos ot 2sin at ! sin ot cos male do 2(sin @-ocosoledo=- 4 r+oo sin @-@coso cos oddo (2)f()= 0,t0),证明 cos or d (2)/=c+cy,证明[,+oo)1=2+co 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ( ) ( ) 1 i i 2 t t f t f t e dt e d ω ω ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 2 i i 1 1 1 2 t t t e dte d ω ω ω π +∞ − −∞ − = − ∫ ∫ ( ) 1 2 i 0 1 1 c o s t t tdte d 1 2 i 2 3 0 1 sin 2 cos 2 sin sin t t t t t t t e d ω ω ω ω ω ω π ω ω ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − + ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ] ω ω ω π +∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) i 3 1 2 s i n c o s t e d ω ω ω ω ω π ω +∞ −∞ − = ∫ 3 0 4 s i n c o s cos td ω ω ω ω ω π ω +∞ − = ∫ （ 2 ） ( ) 满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎩⎨⎧ ≥ 0 ），证明 | | 2 2 0 co s 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （ 2 ） f ( )t = e − | t | cos t ，证明 ( ) ∫ +∞ − = ++ 0 | | 42 cos 2 cos 42 t d e t π t ω ω ωω
3101b明广mDm体 t卜丌 解(1)F0)=5(0)1-ch-2 -l"===2—d -(B-ie)r -(B-ie) +e-(B+ie) ldt (B-io)-(B 2B B-i0 B+io B2+02 f()的积分表达式为 0)=2ok 2B d cos ot+isin ordo B- cos ot 即 do= B+@4 2B (2)Fo)=s() coste lex ∫cuo)+fn [-1+0-)j 21+1(1-)1-i(1+o)-1+i(1-0)-1-i( 2a2+4 21+(0-)(+0)+1-(-0)+1+(+o)」+4 f()的积分表达式为 小=ro) 4+4 0+4cos atdo 因此有。+2w02()=or (3)F(o)=s[(]/(e io"dt=l sin te"idt=[ sin r cos ot-isin o lt=-2i sint sin ordt f()的积分表达式为 f()= Fok 2T 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （3） ( ) 证明 ⎩⎨⎧ >≤ = 0, | | , sin , | | , ππ t t t f t 2 0 si n sin sin , | | 2 1 0, | | t t t d t π ωπ ω π ω ω π +∞ ⎧⎪ ≤ = ⎨ − ⎪⎩ > ∫ 解 （ 1 ） F( )t = ¶ ( ) | |t i t f t e e d t β ω +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ = i i 0 0 2 c o s 2 2 t t t t e e e t d t e d t ω ω β β ω − +∞ +∞ − − + = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i 0 0 0 i i t t t t e e e e dt β ω β ω β ω β ω β ω β ω +∞ + − − − − +∞ − − − + = + ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ − − − + ∫ ∞ 2 2 112 i i β β ω β ω β ω = + = − + + f ( t )的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ +∞−∞ = ω ω π ω f t F e d i t 21 ( ) 2 2 1 2 co s i s i n 2 t t d β ω ω ω π β ω +∞ −∞ = + + ∫ 2 2 0 2 co s td β ω ω π β ω +∞ = + ∫ 即 | | 2 2 0 cos 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （ 2 ） F( ) ω = ¶ [ ] ( ) ∫ ∫ +∞−∞ − − − +∞−∞ − − + = = e dt e e f t e te dt e t t t t ωt t i ω i i | | i | | 2 cos ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 12 t t t e dt e dt e dt e dt ω ω ω t +∞ +∞ ⎡ + − ⎤ ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡ − − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ = + + + ∫∫∫ ∫ ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 2 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 t t t t e e e e ω ω ω ω ω ω ω +∞ +∞ ⎡ ⎤ + − ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡− − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ ⎧ ⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ + + + + − − + − + − − − + ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 i 1 ω 1 i 1 ω ω 1 i 1 1 i 1 ω ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ + + + − − + − − + + ⎣ ⎦ 2 4 2 44 ωω + = + f ( t )的积分表达式为 ( ) ( ) ω ωω π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 42 i 4 2 4 21 21 ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ++ = = ∫ +∞ ++ = 0 42 cos 4 1 2 4 ω ω ωω π td 因此有 ( ) ∫ +∞ − = = ++ 0 | | 42 cos 2 2 cos 42 td f t e t π π t ω ω ωω （ 3 ） F( ) ω = ¶ ( ) ( ) i i sin t t f t f t e dt te dt π ω ω π +∞ − − −∞ − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ = − = − −π π π ω ω ω 0 sin t cos t isin t dt 2 i sin tsin tdt = [ ] ( ) ( ) ∫ + − − π ω ω 0 i cos 1 t cos 1 t dt ( ) ( ) ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ −− − ++ = ωω ωω π π 1 sin 1 1 sin 1 i 0 0 t t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 i ω ω π ω ω π ω π ω ω π − + − + − − − − = 2 1 sin 2 i ω ωπ − = − f ( t )的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = = − ω ω ωπ π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 2 i 1 sin 2 i 21 21
sin oT sin ot 20动tisn 因此有“xm=号={2mx 0,|t卜>x 4.已知某函数f()的傅氏变换为F()=52,求该函数f0 解f0=1-Fod=n(oako ~s0m,如m(,(1- I too sin o +msin(1+no+ cos oddo= 而由 2a=2得 当n>0时,C当d=Ch=hx= top sin u@ 当u1 5.已知某函数的傅氏变换为F(O)=m[b(+a)+o(a-a),求该函数f()。 解f()=2F(oyd=厂8o+)+6-l-d e le teler =COS@o! t<0 6.求符号函数(又称正负号函数)sgnt= 的傅氏变换。 解符号函数不满足傅氏积分定理的条件,显然广|sgn|dh→+a0不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取f()={01=0,且sgnt=limf,(),F[sgnl= :lim Fl(O,而 n→a n→ f(1)满足傅氏积分定理的条件,且 Flol=s[m(]/(e"io dt=e"ne-iondt-Lengerindt 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ − + = − − = 0 2 2 1 2 sin sin cos isin 1 i sin ω ω ωπ ω π ω ω ω ω ωπ π d t t t d 因此有 ( ) ∫+∞ ⎪⎩⎪⎨⎧ >≤ = = 0 − 2 0 , | | sin , | | 2 1 2 sin sin ππ π π ω ω ωπ ω t t t d f t t 4．已知某函 数 f ( t )的傅氏变换为 F( ) ω = si n ωω ，求该函数 f ( t ) 。 解 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = = ω + ω ω ωω π ω ω π ω f t F e d t t d t cos isin sin 21 21 i ( ) 0 1 s i n 1 sin( 1 ) sin 1 co s 2 2 t t td d ω ω ω ω ω ω π ω π ω +∞ +∞ −∞ + + − = = ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ − + + = 0 0 sin 1 2 sin 1 1 21 ω ω ω π ω ω ω π d t d t （ * ） 而由 ∫ +∞ = 0 2 sin π dx x x 得 当 u > 0时，∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ = = = 0 0 0 2 sin sin sin π ω ωω ω ω ω dx x x du u u d u 当 u = 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然 不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定 义。首先注 意到可取 ，且 | s g n t d| t +∞ −∞ → + ∞ ∫ / / , 0 ( ) 0 00 t n n t n e t f t t e t − ⎧ > ⎪ = = ⎨⎪− < ⎩ sgn lim ( ) n n t f t →∞ = ， [sgn ] l i m [ ( )]，而 df n n F t F f t →∞ = ( ) nf t 满足傅氏积分定理的条件，且 [ ] Fn ω = ¶ ( ) ( ) 0 i / i / 0 t t n t t n n i t f t f t e dt e e dt e e dt ω ω +∞ +∞ − − − −∞ −∞ ⎡ ⎤ = = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ − ω
n 故Fo=f()]=mFo ≠0 +o2(0 注:一般地,若im(x)=f(x),且f(x)古典意义下的傅氏变换Fol=[f1(0)],(m=12,)都 存在,且当n→+∞,函数族{F[m]}收敛,则称该极限为∫(x)在极限意义下的傅氏变换,即 FloJ=slf(x)]= lim Flo] 7.求函数∫(1)=[O6(t+a)+D(t-a)+6(+)+(-)的傅氏变换 解F(a)=S[/( 6(+a)cd+」(t dt 8.求函数f(1)= cost sin t的傅氏变换 解(5/()-厂-1,:m2-h=2Ce-a 21 9.求函数f()=sint的傅氏变换。 Af F(o)=s[(]=sin"iedr 4J(3sint-sin 3r )e-e dr [3(+1)-36(-1)-(+3)+o(-3) 10.求函数f(1)=sin(5t+)的傅氏变换 解F(a)= dt n(5t + e-dt (sin5+√3cos)edt 20(0+5-6(0=5)+2x005+2(0-5)=23+0(a+5)+( 11.证明δ-函数是偶函数,即()=(-1 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ = 1 1 1 1 i i n n ω ω − + − = 2 2 2 i 1n ω ω − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 故 F[ ] ω = ¶ ( ) 2 2 2 2 i , 0 lim [ ] i 1 0, 0 n n f t F n ω ω ω ω ω ω →∞ ⎧ − ⎪ ≠ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = = = ⎨ ⎛ ⎞ + ⎩⎪ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 注： 一般地 ， 若 li m ( ) ( ) n n f x f x →+∞ = ，且 ( ) nf x 古典意义下的傅氏变换 [ ] Fn ω = ¶ ⎡ ⎤ fn (t) ⎣ ⎦ ，( 1 都 存在，且当 ，函数族{ [ n = , 2 , " ) n → + ∞ F ω] }收敛，则称该极限为 f ( x ) 在极限意义下的傅氏变换，即 F[ ] ω = ¶[ ( ) ] l i m [ ] n n f x F ω →+∞ = 7．求函数 1 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a a f t = δ δ t + a + −t a + + δ t + − δ t ] 2 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ [ ] f ( )t ( ) ( ) 1 i i 2 t t t a e dt t a e dt ω ω δ δ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎡ = + + − ⎢⎣∫ ∫ i i 2 2 a a t t t e dt t e dt ω ω δ δ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ + + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ∫ ∫ i i i i 2 2 12 a a a a e e e e ω ω ω ω − − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ co s c o s 2a a ω = + ω 8．求函数 f ( )t = c o s t s i n t 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) i cos sin t f t t t e d t ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ +∞−∞ − − +∞−∞ − − = = e dt e e te dt t t t ωt i ω i 2 i 2 i 2 2 i 1 sin 2 21 ( ) ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = − ∫ ∫ +∞−∞ − + +∞−∞ − − e dt e dt i 2 t i 2 t 4 i 1 ω ω [ ] 2 ( ) 2 2 ( 2 4i 1 = − πδ ω + − πδ ω − ) [ ] ( ) 2 ( 2 2 i = δ ω + − δ ω − π ) 9．求函数 3 f ( )t = s i n t 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) 3 i sin t f t t e dt ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ = 1 i (3sin sin 3 ) 4 t t t e dt ω +∞ − −∞ − ∫ i [3 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 3 ) ( 3)] 4π = + δ ω − δ ω − −δ ω + +δ ω − 。 10．求函数 ( ) s i n ( 5 ) 3 f t t π = + 的傅氏变换。 解 ( ) ( ) i i 1 sin(5 ) ( s i n 5 3 c o s 5 ) 3 2 t t F f t e dt t e dt t t e dt ω ω π iωt ω +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = + = + ∫ ∫ ∫ − 1 3 i [ ( 5) ( 5)] [ ( 5 ) ( 5 ) ] [ ( 3 i ) ( 5 ) ( 3 i ) ( 5 ) 2 2 2π = + π δ ω − δ ω − + π δ ω + +δ ω − = + δ ω + + − δ ω − ] 11．证明 δ −函数是偶函数，即 δ ( )t t = δ (− )
证设∫(x)为任意一个在(-∞,+∞)无穷次可微的函数,则 ∫b(-)(h=(m)/(-u)m=f0),又由。-函数的筛选性质知a0)0d=f(0),知 6(-1)f(n)d=6()f()d,故-函数是偶函数。 12.证明:若e]=F(O),其中o(1)为一实函数,则 sIcoso(0]=a[F(o)+F(-o)], slsinp(]I [F()-F(-) 其中F(-)为F(-O)的共轭函数 证因为c0=cosg()+jing(),em=cosq()- Jsin g/( 所以 cosp(O) (*) sin o(t)= 但 sle-ipo]Ce-ietoe-iemdt=eiee - d=F-o) 由本题()、()式得 soso(=sk小-4y-=o)+Fa 4+:pr可 13.证明周期为T的非正弦函数f()的频谱函数为F(O)=2∑cn6(a-a0),其中Cn为f(1)的傅氏级 数展式中的系数。 证设叫=2x,则周为T的非正弦函数/(O的傅氏级数的复指数形式为:(=∑ce )/()=/()c-=∑em-=em ∑ c2n6(0-m)=2∑c1o(-mm) 14.求如图所示的三角形脉冲的频谱函数。 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 证 设 f (x) 为任意一个在( , −∞ +∞) 无穷次可微的函数，则 δ δ ( )t f (t)dt ( u ) f ( u ) du f ( 0 ) +∞ +∞ −∞ −∞ − = − = ∫ ∫ ，又由 δ − 函数的筛选性质 知 ，知 ，故 δ ( )t f ( )t d t f ( 0 ) +∞ −∞ = ∫ δ δ ( t f ) ( )t dt ( )t f ( )t d t +∞ +∞ −∞ −∞ − = ∫ ∫ δ −函数是偶函数。 12．证明： 若 ¶[ ] j ( ) ( ) t e F ϕ = ω ，其中 ϕ( t ) 为一实函数，则 ¶ 1 [cos ( )] [ ( ) ( )], 2 ϕ t F = + ω ω F − ¶ 1 [sin ( )] [ ( ) ( )], 2j ϕ t F = ω ω − F − 其中 F( ) −ω 为 F ( − ω)的共轭函数。 证 因为 ( ) ( ) ( t ) j cos jsi n t e t ϕ = + ϕ ϕ ， ( ) ( ) ( ) j cos jsi n t t t ϕ ϕ ϕ − e = − 所以 ( ) ( ) ( ) 2 cos （ * ） i t i t e e t ϕ ϕ ϕ − + = ( ) ( ) ( ) 2 i sin i t i t e e t ϕ ϕ ϕ − − = （** ） 但 ¶ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞−∞ − − +∞−∞ − − − e = e e dt = e e dt i ϕ t i ϕ t i ωt i ϕ t i ω t = F ( − ω ) 由本题 ( * ) 、 ( * * )式得 ¶ [ ( ) ] 21 cos ϕ t = { ¶ ( ) [ ] + t e i ϕ ¶ ( ) [ ] t e − i ϕ } = [F( ) ω + F ( − ω ) ] 21 ] { ¶ ( ) [ ] − t e i ϕ ¶ ( ) [ ] t e − i ϕ } = [F( ) ω − F ( − ω ) ] 2 i 1 ¶ [ ( ) 2 i 1 sinϕ t = 13 ．证明周期 为 T 的非正弦函数 f ( t )的频谱函数为 0 ( ) 2 ( ) n n F ω π δ c ω ω +∞ =− ∞ = ∑ − ，其 中 c n 为 f ( t )的傅氏级 数展式中的系数。 证 设 Tπ ω 2 0 = ,则周 期 为 T 的非正弦函数 f ( t ) 的傅氏级数的复指数形式为: ( ) 0 i n t n f t c e ω +∞ −∞ = ∑ F( ) ω = ¶ ( ) ( ) i t f t f t e d t ( 0 ) 0 in t i t i n t n n c e e dt c e d t ω ω ω ω +∞ +∞ +∞ +∞ − − − −∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∑ ∑ ω +∞ − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ n n 2 2 ( ) 0 0 ( ) n c n c n ω ω πδ ω ω π δ ω ω + + ∞ − = − ∞ = − ∑ ∑ = − 14．求如图所示的三角形脉冲的频谱函数。 O t f t( ) 2τ 2τ − A
t|r/2 解f()=-24 t+A,0≤1≤r/2,则f()的频谱函数为 +A,-r/2≤t≤0 r/22A C-t+A)e dt+L(t+A)e- dt 2A 2-2e 2 +ioT -2+2e 2+ioT 4A 20 2 15.求作如图所示的锯齿形波的频谱图。 f() .3T 解如图可知,在一个周期T内的表达式为f()=71(0≤1<7),它的傅氏级数的复指数形式为 f()=∑Cem 可见f(的傅氏系数为 C02≈1rhh(h f( erol in r c-a --[-ineoay] 它的频谱为 4=2|C=h,42=21C=2=b nOTn丌 其中 这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 解 0, | | / 2 2 ( ) , 0 / 2 2 , / 2 t A f t t A t A t A t τ τ τ τ τ ⎧⎪ > ⎪⎪ = −⎨ + ≤ ≤ ⎪⎪ + − ≤ ≤ ⎪⎩ 0 ，则 f ( t )的频谱函数为 F (ω ) = ¶ ( ) 0 / 2 i i / 2 0 2 2 ( ) ( ) A A t t f t t A e dt t A e τ ω ω τ τ τ − − − ⎡ ⎤ = + + − + ⎣ ⎦ ∫ ∫ dt i i 2 2 2 2 2 2 2 2 i 2 2 i 4 1 c o s 2 2 A e e A ωτ ωτ 2 ωτ ωτ τ ω ω τω ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ − + − + + ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ωτ 15．求作如图所示的锯齿形波的频谱图。 h f ( t ) O T 2 T 3 T t -3T -2T -T -3 T ( ) t( ) t T Th 解 如图可知,在一个周 期 T 内的表达式为 f t = 0 ≤ < ,它的傅氏级数的复指数形式为: 可见 的傅氏系数为 ( ) ∑ +∞=−∞ = n n t n f t C e i ω f ( )t ( ) 2 2 1 1 0 0 0 2 0 2 t h Th tdt Th T f t dt T C T T T = = = = ∫ ∫ f ( )t e dt T C T n t n ∫ = 0 1 i ω ∫ − = T n t te dt Th T 0 1 i ω ∫ − = T in t te dt Th 0 2 ω ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ + − = ∫ − − e dt n n e t Th T n t T n t 0 i 0 i 2 i 1 i ω ω ω ω ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − + − = − − 2 2 i i 2 1 i ω ω ω ω n e n Te Th n T n T ( ) 1, 2," i = n = ± ± n T hω 它的频谱为 A0 = 2 | C 0 | = h , ω n πh n Th A = C n = = 2 2 | | 0 , 其中 = = ( ) = 1,2,… 2 n Tn n n π ω ω 这样对应不同的频率得出各次谱波的振幅,因此频谱图如图所示
h. 16.求高斯(Gms)分布函数0)=moeo的频谱函数 解教科书中P10,例2已解得钟形脉冲函数AeBr的傅氏变换为A B a4B,本题中A 所以 r()=[(O)]= t 习题三 若F()=[(O)]F(o)=s[()],a,是常数,证明(线性性质 s[af(+B(0]=aF(o)+BF(o) s[aF()+BF(o)]=a()+B2() 证[a()+B()f[a()+B(O)e-b=a∫()-+p」()e- aFlo+BE(o) 2.若F(,证明(对称性质x(o)=厂F(F)c-md,即F(1)=2x7(o) 证因f()=1["F(o)e"do,令x=-1,f(-1)=「F(o)ldo 令t=O,则f(-0)= F(e di F(),即[F()]=2nf(-o) (*)式中令一1=0,则f(a)=厂 F(-n)ed-Ds、1 ∫"F(-1)-d=12sFo),即 [F(-1)]=2rf(o) 3若2(0,a为非零常数.,证明(相似性质)5(m-=1{ 证设a>0,有5(a)-al-h=厂rae="1(a)=1olw=Fg 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ h A O ω 2 ω 3 ω 4 ω ω 16．求高斯 （Gau s s）分布函数 2 2 2 1 ( ) 2 t f t e σ πσ − = 的频谱函数 解 教科书中 P10，例 2 已解得钟形脉冲函数 的傅氏变换为 2t Ae−β 2 / 4 A e π ω β β − ，本题中 12 A π σ = ， 2 2 1σ β = ，所以 F (ω ) = ¶ ( ) 2 2 2 2 2 i 2 12 t t f t e e dt e σ ω σ ω πσ +∞ − − − −∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ 习题三 1．若 1 F ( ) ω = ¶ ⎡ ⎤ f1 ( )t ⎣ ⎦ ， 2 F ( ) ω = ¶ ⎡ ⎤ f2 (t) ⎣ ⎦ ， α , β 是常数，证明（线性性质） ： ¶ 1 2 ( ) ( ) 1 2 ⎡ ⎤ α f t + = β α f t F ( ) ω + β F ( ) ⎣ ⎦ ω ， ¶ [ ] ( ) ( ) 1 1 2 1 2 α ω F F ( ) β ( ) ω α f t β f − + = + t 。 i t 证 ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i 1 2 1 2 1 2 t t f t f t f t f t e d t f t e d t f t e ω ω α β α β α β +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ + = ⎡ ⎤ + = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎣ ⎦ ∫ d t − ω 1 2 = + αF F ( ) ω β ( ω) 2．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（对称性质） ： 1 j ( ) ( ) 2 t f F t e dt ω ω π +∞ − −∞ ± = ∫ ∓ ，即 ¶[ ( F t ∓ ) ] = 2 π f ( ± ω) 。 证 因 1 i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω d ω π +∞ −∞ = ∫ ，令 x = − t ， 1 -i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω d ω π +∞ −∞ − = ∫ （ * ） 令 t = ω ，则 1 1 -i ( ) ( ) 2 2 t f F t e dt ω ω π π +∞ −∞ − = = ∫ ¶[ ( F t ) ]，即 ¶[ ( F t ) ] = 2 π f ( － ω) ； （ *）式中 令 － t = ω ，则 1 1 -i -i ( ) ( ) ( ) 2 2 t t f F t e d t F t e d ω ω ω 12 t π π π +∞ +∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ － （－ ） － ＝ ¶ ，即 ¶[ ( [ ( F t ) ] F t － ) ] = 2 π f ( ω) 。 3．若 F( ) ω = ¶ [ ] f ( )t ， a 为非零常数，证明（相似性质） ¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 证 设 a > 0 ，有 ¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f a t f at e d t f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = = ∫ ∫ ∫ ；
同理a>0时,f(a)=fan)-d=Jf(an“dan)=-(nl°ah 综上,乳f(a=F 4.若F(o)=[/(,证明(象函数的位移性质) s[F(o干a)=e*f(t),即F(O干a)=ef(l)。 iEs[e*o/()]=e f((e o"dt=/(e eio"dt=F(@%) 5.若F(o)=S[(,证明(象函数的微分性质):F(a)=[-jf() 证 do F(o)=a厂r()-h」 f()do d=-jf(e ie dt=5l-jyf(o1 6.若F(a)=[f(,证明(翻转性质) r(o)=()0 证F(-o)=Cf(0)eoh=f(-n)en()Cf(n)ed=[(-门) 7.若F(a)=[f(,证明:S[f() cost=[F(a-m)+F(o+ f(1)sna4、1 [F(o-a)-F(o+) !cos@ [F(a-)+F(O+0) slf(osin @t 广 jo' -jetc [F(O-00)-F(+0 8.利用能量积分b=n11F(odo,求下列积分的值 ∞(1+x2)2 解1r+1-cosx d=2[2d sIn x = sin x ox 1+okx+ 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 同理 a > 0 时， ¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f a t f at e d t f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = − = − ∫ ∫ ∫ ； 综上， ¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 4．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的位移性质） ： ¶ [ ] ( ) 0 1 j 0 ( ) t F e f ω ω ω − ± ∓ = 0 t ，即 F( ) ¶ ( ) 0 j [ ] t e f t ± ω ω ∓ ω = 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 j j j j( ) 0 [ ] ( t t t t e f t e f t e dt f t e dt F ω ω ω ω ω ω ω ) +∞ +∞ ± ± − − −∞ −∞ = = = ∫ ∫ ∓ ∓ 。 5．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的微分性质） ： ( ) d F d ω ω = ¶[ j − tf ( t ) ] 。 证 ( ) d F d ω ω = ( ) ( ) ( ) j j j t j d d t t f t e dt f t e dt tf t e dt d d ω ω ω ω +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ − tf ( )t ] − ω ＝ ¶[ j 。 6．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（翻转性质） F ( − ω ) = ¶[ ] f (−t) 证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i t t F f t e d t f t e d t ω ω ω +∞ +∞ − − − − − −∞ − ∞ − = = − − ∫ ∫ = ( ) i t f t e d t ω +∞ − −∞ − = ∫ ¶ ⎡ ⎤ f (−t) ⎣ ⎦ 。 7．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明： ¶ 0 0 1 [ ( ) cos ] [ ( ) ( ) ] 2 f t ω t = − F ω ω + F ω + ω0 ， ¶ 0 0 1 [ ( )sin ] [ ( ) ( ) ] 2j f t ω t = − F ω ω − F ω +ω0 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j ( ) 0 1 [ ( ) cos ] 2 2 t t e e t t t f t t f t e d t f t e d t f t e d ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ −∞ −∞ + t ⎡ ⎤ = = + ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( ) ] 2 = − F ω ω ω + F + ω ； ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j ( ) 0 1 [ ( )sin ] 2j 2j t t e e t t t f t t f t e d t f t e d t f t e d t ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ − ∞ −∞ − ⎡ ⎤ = = − ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( ) ] 2j = − F ω ω ω − F +ω 。 8．利用能量积分 2 1 [ ( )] | ( ) | 2 2 f t dt F ω d ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ ，求下列积分的值： （ 1 ） 2 1 c o s x dx x +∞ −∞ − ∫ ； （ 2 ） 42 sin x dx x +∞ ∫−∞ ； （ 3 ） 2 2 1 (1 ) dx x +∞ −∞ + ∫ ； （ 4 ） ( ) 2 2 2 1 x dx x +∞ −∞ + ∫ 解 （ 1 ） 2 1 c o s x dx x +∞ −∞ − ∫ =2 2 2 2 sin si n 2x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ − ∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ +∞−∞ = 2 π1 ¶ dω x x 2 sin ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ （ * ） ¶ dx x x x e dx x x x x x ∫ ∫ +∞−∞ +∞ − = = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ 0 i sin cos 2 sin sin ω ω ( ) ( ) dx x x x ∫ +∞ + + − = 0 sin 1 ω sin 1 ω （** ）