§14行列式的性质 性质1设D ,则DT=D 证令b=an(=12, ∑(-1)bnbn…bm,r=(PP2…Pn) ∑(-1)a D 根据Th (P1P2…Pn) 性质2设i<j,D= D ,则D1=-D 1≠i,j:h=ak(k=1,2,…,m) D b ∑(-1)(-1X…bm…b t(…P…P2…) =(-1)2(-1)(…am…am…) qi =Pj,j=Pi 1,J:q=P1 (-1)∑(-1)(…an…amn…) t(…q1…q…) 推论1D对调两列得D2→D2=-D
7 §1.4 行列式的性质 性质 1 设 n nn n a a a a D 1 11 1 = , n nn n a a a a D 1 11 1 Τ = , 则 D = D Τ ． 证 令 b a (i, j 1,2, ,n) ij = ji = , 则 n nn n b b b b D 1 11 1 Τ = n n p p np p p p b b b 1 2 1 2 1 2 ( ) = (−1) ( ) p1 p2 pn = ap ap ap n D p p p n n = − = 1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) (根据 Th2) 性质 2 设 j jn i in a a a a i j D 1 1 , = , i in j jn a a a a D 1 1 1 = , 则 D1 = −D ． 证 b a , b a (k 1,2, ,n) ik = jk jk = ik = l i, j : b a (k 1,2, ,n) lk = lk = ( 1) ( ) 1 1 1 i j i p j p j j n i i n b b b b b b D = = − ( ) pi p j ( 1) ( 1)( ) j i jp ip t = − − b b ( ) p j pi t ( 1) ( 1) ( ) j i ip jp t = − − a a l l i j j i l i j q p q p q p = = = , : , ( 1) ( 1) ( ) i j iq jq t = − − a a = −D ( ) qi qj t 推论 1 D 对调两列得 D2 D2 = −D．
证因为D对调两列得D2,相当于D对调两行得D2 所以D2=D2=-D 推论2D中某两行(列)元素对应相等→D=0 证因为对调此两行(列)后,D的形式不变 所以 例如,对于任意的abc,都有abc=0 性质3kan1…kan=kD 证(1)左端=∑(-)an…(kan)…am] r(P1…p…pn) )=kD 推论1D中某行(列)元素全为0→D=0 推论2D中某两行(列)元素成比例→D=0 性质4若对某个i,有an=b+cn(=1,2,…,m),则 b1…bn 证左端=∑(-1)(an…an…am2) r(P1…P…pn) =∑(-1)(an…bn…an)+∑(-)(an…cmn…am2) =右端(1)+右端(2) 注]性质4对于列的情形也成立
8 证 因为 D 对调两列得 D2 , 相当于 T D 对调两行得 T D2 所以 D = D = −D = −D T T 2 2 推论 2 D 中某两行(列)元素对应相等 D = 0． 证 因为对调此两行(列)后, D 的形式不变 所以 D = −D D = 0 例如, 对于任意的 a,b, c , 都有 0 1 2 3 1 2 3 a b c = ． 性质 3 kD a a ka ka a a n nn i in n = 1 1 11 1 , kD a k a a a k a a n nj nn j n = 1 11 1 1 证(1) 左端 ( 1) [ ( ) ] 1 1 i npn = − a p kaip a ( ) p1 pi pn k a a a kD i npn = (−1) ( p ip ) = 1 1 推论 1 D 中某行(列)元素全为 0 D = 0． 推论 2 D 中某两行(列)元素成比例 D = 0． 性质 4 若对某个 i , 有 a b c ( j 1,2, ,n) ij = ij + ij = , 则 n nn i in n a a a a a a 1 1 11 1 n nn i in n a a b b a a 1 1 11 1 = n nn i in n a a c c a a 1 1 11 1 + 证 左端 ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p aip a ( ) p1 pi pn ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p bip a ( 1) ( ) 1 1 i npn + − a p cip a = 右端(1)+ 右端(2) [注] 性质 4 对于列的情形也成立．
+ a 性质5 (≠j [注]性质5对于列的情形也成立 1-53 01 例5计算D 010-5502-1 016-1011 021911011 00 3123 =(-5)00-2 3|=-55 例6计算Dn D [x+(n-1a
9 性质 5 j jn i in a a a a 1 1 ( ) 1 1 1 i j a a a a a a j j n i j i n j n r kr i j + + = + [注] 性质 5 对于列的情形也成立． 例 5 计算 4 1 3 1 3 1 1 2 2 0 1 1 1 5 3 3 − − − − − D = . 解 0 21 9 11 0 16 10 11 0 10 5 5 1 5 3 3 − − − − − D = 0 1 1 1 0 0 2 3 0 2 1 1 1 5 3 3 5 − − − − = 0 2 1 1 0 0 2 3 0 1 1 1 1 5 3 3 ( 5) − − − − = − 0 0 3 1 0 0 2 3 0 1 1 1 1 5 3 3 ( 5) − − − − − = − 2 11 0 0 0 0 0 2 3 0 1 1 1 1 5 3 3 ( 5) − − − − = − = −55 例 6 计算 a a x a x a x a a Dn = ． 解 a a x a x a D x n a n r r r n 1 1 1 [ ( 1) ] ( ) 1 2 = + − + + + x a x a x n a − − = + − 0 0 0 0 1 1 1 [ ( 1) ] 1 [ ( 1) ]( ) − = + − − n x n a x a
例7计算D=301 0 解D 001 0=1-(2 000 §15行列式按行(列)展开 余子式:在m阶行列式中,将元素a所在的行与列上的元素划去,其余 元素按照原来的相对位置构成的n-1阶行列式,称为元素an的 余子式,记作Mn 代数余子式:元素an的代数余子式A=(-1)M 定理3D=/21a2 ImI a, aa +a n 证证明第一式,分以下3步 第1步:Mn =∑(-anan (1≤P1≤n-1) 10
10 例 7 计算 0 0 1 3 0 1 0 2 1 0 0 1 2 3 n n Dn = ． 解 1 (2 ) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 3 2 2 2, , 1 n t n D j c j c j n n = = − + + − = §1.5 行列式按行（列）展开 余子式：在 n 阶行列式中，将元素 ij a 所在的行与列上的元素划去，其余 元素按照原来的相对位置构成的 n −1 阶行列式，称为元素 ij a 的 余子式，记作 M ij ． 代数余子式：元素 ij a 的代数余子式 ij i j Aij M + = (−1) ． 定理 3 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin (i = 1,2, ,n) = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ anj Anj ( j = 1,2, ,n) 证 证明第一式, 分以下 3 步． 第 1 步： 1,1 1, 1 11 1, 1 − − − − = n n n n nn a a a a M 1 1 1 1 1 1, ( ) ( 1) − − = − − n n p n p p p a a (1 p n −1) i
∑ r(P…P-1Pn) 0 0 ∑( n-l Pm-n,P PR-n (-1)nnan… an-lp-n,P. =a ∑(-)na r(P1…pn-1n)=r(P1…Pn-) =amMm=a(DMm=aA D2 第2步:DO,=6-°0:"an;0 =(-1)n-)+(n- (1-a,M=aA 第3步:D=D(i,1)+D(i,2)+…+D(i,n) A 例8计算D
11 nn n n n n n n n a a a a a a a 0 0 1,1 1, 1 1, 11 1, 1 1 − − − − − n n n n p n p n p p p p a1 a 1, a , ( ) 1 1 1 1 ( 1) − − = − − n n n n n p n p n p p n p p p a1 a 1, a , ( ) 1 1 1 1 ( 1) − − − = = − + n n n n n p n p n p p n p p p a1 a 1, a , ( ) 1 1 1 1 ( 1) − − − − 1 1 1 1 1 1, ( ) ( 1) − − = − − n n p n p p p n ann a a ( ) ( ) p1 pn−1n = p1 pn−1 nn nn nn n n = annM nn = ann − M = a A + ( 1) 第 2 步： nj i j ij i j j a D D a a a D D a D i j 3 4 1, 1, 1 2 1 ( , ) 0 0 0 0 + − = ij nj i j i j j n i n j a a D D a a D D a 0 0 0 0 ( 1) 3 4 1, 1, 1 2 1 ( ) ( ) + − − + − = − ij ij ij ij i j = − a M = a A −( + ) ( 1) 第 3 步： D = D(i,1) + D(i,2) ++ D(i,n) = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin 例 8 计算 4 1 3 1 3 1 1 2 2 0 1 1 1 5 3 3 − − − − − D = ．
60-2 l6-27 解 =(-1)2221 =(-1)21 7 701 例9计算D2n= b d 解D2n=(-1)+a n-1) +(-1)"b (2n-1) =(-1) ad.D2m+(-1)-1))be·D2- =(ad-bc)D (n-1) ad-bc 1:22 例10计算Dn=:033 1:00
12 解 1 0 4 3 3 1 1 2 2 0 1 1 16 0 2 7 − − − − D = 1 4 3 2 1 1 16 2 7 ( 1) 3 2 − − − = − + 55 7 1 20 5 ( 1)( 1) 7 0 1 2 1 1 20 0 5 ( 1) 2 2 = − − = − − − = − − + 例 9 计算 = c d c d c d a b a b a b D n 2 ． 解 (2 1) 1 1 2( 1) 2 0 0 0 0 ( 1) − + − = − n n n d D D a (2 1) 1 2 2( 1) 0 0 0 0 ( 1) − + − + − n n n c D b 2( 1) (2 1) 1 2( 1) (2 1) (2 1) ( 1) ( 1)( 1) − − + − − + − = − + − − n n n n n ad D bc D 2 1 2( 1) (ad bc)D (ad bc) D n n − = − − == − ad bc c d a b D2 = = − n D n (ad bc) 2 = − 例 10 计算 − − = n n n Dn 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 3 3 1 2 2 1 1 ．
解Dn=mDn+(-1)”(n-1 nn-1)Dn2+(-1) ]+(-1y(n-1) n(n-1)D2+(-1) =m(n-1)…3·D2+(-1)2+…+(-1n-1 D2 2-1 D,=(n!) (-1)2(-1)3(-1)4 课后作业:习题一4(1)(2) 5(1)(2)(3) 7(1)(2)
13 解 ( 1) ( 1)! 1 = 1 + − − + D nD − n n n n ( 1) ( 1) ( 1 1)! ( 1) ( 1)! ( 1) 1 1 = − 2 + − − − + − − − + + n n D − n n n n n n n n n n n D n n n ! ( 1) 1 ! ( 1) ( 1) 1 2 + − + − − = − + − = n n n n n n n D n n ! ( 1) 1 ! ( 1) 3 ! ( 1) 3 ( 1) 4 1 2 + + − − = − + − ++ − 2 1 ( 1) 2 ( 1) 1 1 2 1 1 2 3 2 D = = − = − + − − + + − + − + − = + n D n n n 2 3 4 1 ( 1) 3 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) ( !) 课后作业：习题一 4 (1) (2) 5 (1) (2) (3) 7 (1) (2)