Chapter 5(1) 程的基本糖
Chapter 5(1) 微分方程的基本概念
教学要求 (1)了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解 等概念; (2)掌握变量可分离方程的解法 K
教学要求 (1) 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解 等概念; (2) 掌握变量可分离方程的解法
引例 二.基本概念 三概念题举例 四.可分离变量的方程 K
一 .引例 三.概念题举例 四.可分离变量的方程 二.基本概念
引例 Example.一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 Solution.设所求曲线为y=y(x) y-x+C =2x其中x=时,y rdx 即y=x2+C,求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1 K
一、引例 Example1. 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. Solution. 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 y = 2xdx其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 0 y x y=x2+C
二、基本概念 1.微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数或微分、自变量之 间关系的方程叫微分方程.即 F(x,y,y,y"…,p(n)=0 注意:在微分方程中,未知函数和自变量可以不出现 但其导数必须有,否则不是微分方程
二、基本概念 1. 微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数或微分、自变量之 间关系的方程叫微分方程. 即 ( , , , , ) 0 ( ) = n F x y y y y 注意: 在微分方程中，未知函数和自变量可以不出现 但其导数必须有，否则不是微分方程
For example: +1=0 3y2+4y-x+3=0 +2xy=x (2x+y)+xd小y=0 d e 2 +2 dx +(sin x)2+5xy=0 dx 2 3+324)+y3(4)2=5x
For example: 1 0 ( ) + = n y 3 4 3 0 2 y + y − x + = 2 2xy x dx dy + = (2x + y)dx + xdy = 0 2( ) 1 2 2 2 + = dx dy dx d y e y 4 (sin ) 5 0 2 2 3 3 + + xy = dx d y x dx d y x dx dy y dx dy y dx d y ( ) 3 ( ) ( ) 5 3 7 3 2 2 2 + + =
2.微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数 且称为一阶、二阶,…,n阶微分方程分别记为 F(x,y,y)=0, (x,y,y,y)=0 F(x,y,y,…,y (n) K
2. 微分方程的阶： 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数. 且称为一阶、二阶，…，n阶微分方程. 分别记为 F(x, y, y) = 0, F(x, y, y , y) = 0, ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y
3微分方程的解: 使得微分方程成为恒等式的函数即 设y=g(x)在区间I上有n阶导数, 使得Fx,g(x),p(x),…,p()(x)=0 则称y=q(x)是F(x,y,y,…,y)=0的解 4.微分方程的通解与特解: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常 数的个数与微分方程的阶数相同 (2)特解:运用已知条件确定了通解中任意常数以后 的解
3. 微分方程的解： 使得微分方程成为恒等式的函数.即 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, [ , ( ), ( ), , ( )] 0. ( ) F x x x x n 使得 ( ) ( , , , , ) 0 . 则称y = x 是F x y y y (n) = 的解 4. 微分方程的通解与特解： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常 数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 运用已知条件确定了通解中任意常数以后 的解
注意: (1)通解中任意常数互相独立,不能合并 y=C1+C2)x=Cx应为一个任意常数 问C1x+C2y+C3=0中有几个任意常数? 由于y=-1x-03,应为两个任意常数 2 (2)通解、特解的几何意义: 通解y=q(x)+C为积分曲线族, 特解y=q(x)为积分曲线 K
注意: (1) 通解中任意常数互相独立，不能合并. y = (C1 + C2 )x = Cx 应为一个任意常数. 0 ? 问C1 x + C2 y + C3 = 中有几个任意常数 , . 2 3 2 由于 1 应为两个任意常数 C C x C C y = − − (2) 通解、特解的几何意义： 通解y = (x) + C为积分曲线族, 特解y = (x)为积分曲线
5.初始条件: 确定通解中任意常数的已知条件 阶微分方程的初始条件为yx=n=y, 初始问题为F(x1)=0 x=x 0 0 二阶微分方程的初始条件为 X=x 0 X=x -J 0 (x,y,y,y")=0 初始间题为yx=n= K
5. 初始条件： 确定通解中任意常数的已知条件. , 0 0 y y x x = 一阶微分方程的初始条件为 = ; ( , , ) 0 0 0 = = = y y F x y y x x 初始问题为 , 0 0 0 0 = = = = y y y y x x x x 二阶微分方程的初始条件为 . ( , , , ) 0 0 0 0 0 = = = = = y y y y F x y y y x x 初始问题为 x x