中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter2（3）三重积分的计算

Chapter 2(3 重积分的计算

Chapter 2(3) 三重积分的计算

教学要求: 1.会计算三重积分 直角坐标、柱面坐标、球面坐标 K<DD

教学要求： 1. 会计算三重积分—— 直角坐标、柱面坐标、球面坐标

在直角坐标下计算三重积分 在柱面坐标下计算三重积分 三.在球面坐标下计算三重积分 四利用区域的对称性和函数的奇偶性计算三重积分 K心

一 .在直角坐标下计算三重积分 二.在柱面坐标下计算三重积分 三.在球面坐标下计算三重积分 四.利用区域的对称性和函数的奇偶性计算三重积分

在直角坐标下计算三重积分 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分 设g={(x,yz)z1(x,y)≤z≤2(x,y)2(x,y)∈D} Ω满足: (1)在xoy面上D={(x,y)|n(x)≤y≤y2(x)2a≤x≤b} (2)通过D内的点且平行于z z=2(x,y) 轴的直线与Ω边界交点 不多于两个 Q 先将x,y看作定值, =Zix,y) 将f(x,y,z)只看作 :: z的函数,则 D (x,yE y2(x) y=y,(r) K心

一 .在直角坐标下计算三重积分 1. 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 {( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) } 设 = x y z z1 x y  z  z2 x y x y  D x y z o  D 1 z 2 z S2 S1 ( , ) 1 z = z x y ( , ) 2 z = z x y a b ( ) y = y1 x ( ) (x, y) y = y2 x 满足: (1) {( , ) | ( ) ( ), } 在xoy面上D = x y y1 x  y  y2 x a  x  b (2)通过D内的点且平行于z 轴的直线与边界交点 不多于两个. 的函数 则 将 只看作 先将 看作定值 , ( , , ) , , z f x y z x y

(x,y) F(x,y) f(,v, z)dz GI(x,y) 再计算F(x,y)在D上的二重积分 ∫F(x,)do=ag(F(x,y) D 顶(x,y)b2=2d,((x,)b 称为先积再积y最后积x的三次积分,记为z-)y)x 需把一般区域先投影到xoy面得D,再作平行于z轴的 直线求得122,得到简单区域2 K心

 = ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , , ) z x y z x y F x y f x y z dz 再计算 F(x, y) 在 D 上的二重积分  =   ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) y x y x b a D F x y d dx F x y dy    f (x, y,z)dv ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 =    b a y x y x z x y z x y dx dy f x y z dz 称为先积z再积y最后积x的三次积分, 记为z→y→x. 需把一般区域先投影到xoy面得D, 再作平行于z轴的 直线求得 , , . z1 z2 得到简单区域

若将Ω投影到z0x面或voz面上,则有 ∫ b f(x,y,z)dv='dx 2 x.Z 32(xf(x,y,x)的 Q ∫(x,ybv= d y 2(y),Px2(y,z) 21(y)Jx1(y,z) f(x, y, z)dx. C 投影要求: 投到xoy面,平行于z轴的直线与9边界不多于两个交点 投到yz面,平行于x轴的直线与g边界不多于两个交点 投到zox面,平行于y轴的直线与9边界不多于两个交点 K心

若将投影到zox面或yoz面上,则有 ( , , ) ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1  =     b a z x z x y x z y x z f x y z dv dx dz f x y z dy ( , , ) ( , , ) . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1  =     d c z y z y x y z x y z f x y z dv dy dz f x y z dx 投影要求: 投到xoy面, 平行于z轴的直线与边界不多于两个交点. 投到yoz面, 平行于x轴的直线与边界不多于两个交点. 投到zox面, 平行于y轴的直线与边界不多于两个交点

et1算的在,由x=1,x=2,x=0,y=x2=y围成 Q r ty Solution.在xoy面上的投影区域如图 D={(x,y)0≤y≤x,1sx≤2} 且0≤z≤y y 原式=/4+mpP1 r+ 2d22d y=x r ty n(x2+y2) dx =In 2 D 2 K心

1. , 1, 2, 0, , . 计算 2 2 由x x z y x z y围成 x y dxdydz ex  = = = = = +   Solution. x y z o 在xoy面上的投影区域如图. x y o y = x 1 2 D D = {(x, y)| 0  y  x,1  x  2} 且 0  z  y.    +  = x y dz x y dx dy 0 0 2 2 2 1 1 原式  + = x dy x y y dx 0 2 2 2 1  + = 2 1 0 2 2 2 ln( ) dx x y x ln 2. 2 1 =

e2.化三重积分Ⅰ=Jf(x,y,)d为 次积分,其中积分区域2为由曲面z=x2+y2 y=x2,y=1,z=0所围成的空间闭区域 Solution.在xoy面上的投影区域如图 D={(x,y)|x2≤y≤1,-1≤x≤1 且0≤z≤x2+y x2 J 2,2 d(2小f(xyx)d K心

ex2. 化三重积分   I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中 积分区域 为由曲面 2 2 z = x + y , 2 y = x , y = 1, z = 0所围成的空间闭区域. Solution. x y z 在xoy面上的投影区域如图. x y o 1 2 y = x {( , ) | 1, 1 1} 2 D = x y x  y  −  x  0 . 2 2 且  z  x + y I =    + − 2 2 2 0 1 1 1 ( , , ) x y x dx dy f x y z dz

ex3.化三重积分I=∫(x,y,z)d为三 次积分,其中积分区域2为由曲面z=2x2+y2 及z=2-y2所围成的闭区域 Solution.由 =2x2+ Z=2 29 得在xoy面上的投影区域为 x2+y2≤1, 0,5 0.5 2x2+y2sz≤2-y 广122:1(x, K心

ex3. 化三重积分   I = f (x, y,z)dxdydz为三 次积分，其中积分区域 为由曲面 2 2 z = 2x + y 及 2 z = 2 − y 所围成的闭区域. Solution. x y z 由    = − = + 2 2 2 2 2 z y z x y , 得在xoy面上的投影区域为 1, 2 2 x + y  2 2 . 2 2 2 x + y  z  − y ( , , ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2   2  − − + − − −  = y x y x x I dx dy f x y z dz

思考题将小!f(x,y,)按y,z,x 的次序积分 Solution Q21:0≤y≤1,0≤z≤x2,0≤x≤1 2:z-x2≤y≤ x2≤z≤1+x2,0≤x≤1; 原式=dkf(x,y,z)+ 2f(x,y,x)小 K心

思考题 将   1 + 0 1 0 0 2 2 ( , , ) x y dx dy f x y z dz按y,z, x 的次序积分. Solution. x y z : 0 1,0 ,0 1; 2 1  y   z  x  x  1 ,0 1; : 1, 2 2 2 2   +    −   x z x x z x y =    + 1 0 1 0 0 ( , , ) 2 dx dz f x y z dy x 原式    − 1 + 1 0 1 2 2 2 ( , , ) z x x x dx dz f x y z dy