中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter1（2）偏导数与全微分

Chapter 1(2 偏导数与全微分

Chapter 1(2) 偏导数与全微分

教学要求: 1.理解偏导数的概念,并掌握各阶偏导数的求法; 2.理解全微分的概念 3.了解全微分存在的必要条件和充分条件 K心

教学要求： 1. 理解偏导数的概念, 并掌握各阶偏导数的求法; 3. 了解全微分存在的必要条件和充分条件. 2. 理解全微分的概念;

一.偏导数的定义与计算 二函数连续与偏导数的关系 高阶偏导数 四全微分 K心

一 .偏导数的定义与计算 二.函数连续与偏导数的关系 三.高阶偏导数 四.全微分

偏导数的定义与计算 1.偏导数的定义 设z=f(x,y),B(x 09y0)9 给x以增量Ax,即由B(x0,y)→P(x+△x,V0), 则得△z=f(x0+Ax,y)-f(x0,y); 给y以增量Ay,即由f(x0,y0)→>P(x0,y+△y) 则得Az=f(x,y+4y)-f(x0,V 定义.若lim △x=lim f(x0+△x,y)-f(x0,y) 存在, △x→>0△x△x->0 △ 则称此极限值为z=f(x,y)在(x0,y)处对x的偏导数 K心

一 .偏导数的定义与计算 1. 偏导数的定义 ( , ), ( , ), 0 0 0 设 z = f x y P x y , ( , ) ( , ), 0 0 0 0 0 给x以增量x 即由P x y → P x + x y ( , ) ( , ); 0 0 0 0 z f x x y f x y 则得 x = +  − , ( , ) ( , ), 0 0 0 0 0 给y以增量y 即由P x y → P x y + y ( , ) ( , ); 0 0 0 0 z f x y y f x y 则得 y = +  − 定义. ( , ) ( , ) . , ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 0 0 则称此极限值为 在 处对 的偏导数 若 存在 z f x y x y x x f x x y f x y x z x x x =  +  − =    →  →

记为 of Zx x=xo,f(xo, yo),Zx x=xo,f(xo, yo) axx=xo axx=x y=yo y=yo = 注意: (1)z=f(x,y)在(x0,y)处对v的偏导数为 △ im f(x0,y+△y)-f(x0,y) △y-0△yy→>0 记为 Oyr=xo ay Z y x=xo,/,(o, yo), 2y x=xo,/(xo, yo) X=X y=yo y=vo y=yo (2)=f(x,y,z)在(x,y,x)处的偏导数为 K心

, , , ( , ), , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y z f x y x f x z x y y x x x x y y x x x y y x x y y x x       = = = = = = = = 记为 注意: (1) ( , ) ( , ) z = f x y 在 x0 y0 处对y的偏导数为 ( , ) ( , ) lim lim 0 0 0 0 0 0 y f x y y f x y y z y y y  +  − =    →  → , , , ( , ), , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y z f x y y f y z y y y y y x x y y y x x y y x x y y x x       = = = = = = = = 记为(2) ( , , ) ( , , ) u = f x y z 在 x0 y0 z0 处的偏导数为

f(o, yo, z0)= lir f(x 0+△ 9y0,0 )-f(x0,y0,0) m △x→>0 △ oy==hmf(xn,+,)-(x,,3) △y->0 △ y=y Z=0 u.x=xo= lim f(xo 09y09<0 +△x)-f(x0,y,z0) zy=y0△z→0 △z Z=Z (3)若z=f(x,y)在D内每一点的偏导数存在 则称这个偏导数为偏导函数记为 az. of ix,fx(x, y)1 dy o'2ysfy(r, y) az af ax ax K心

( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → ( , , ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y f x y y z f x y z y u y z z y y x x  +  − =    → = = = ( , , ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z f x y z z f x y z u z z z y y x x z  +  − =  → = = = 则称这个偏导数为偏导函数 记为 若 在 内每一点的偏导数存在 . (3) z = f (x, y) D , , , , ( , ); , ,z , f (x, y) y f y z z f x y x f x z x x y y        

z=f(x,y)在(x0,y)处的偏导数就是 偏导函数在(x0,y)的函数值 (4)令△x=x-x0,4y=y-10,则 f(o, yo)=lim f(x,y0)-f(x0,0) x→x x- fy(xo, yo)=im f(x0,y)-f(x0,y0) y→>y 2.偏导数的计算 求时,把看作常数而对x求导; ax 求时,把x看作常数而对求导 K心

( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 0 0 偏导函数在 的函数值 在 处的偏导数就是 x y z = f x y x y (4)令x = x − x0 ,y = y − y0 ,则 ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 x x f x y f x y f x y x x x − − = → ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 y y f x y f x y f x y y y y − − = → 2. 偏导数的计算 求 时,把y看作常数而对x求导; x f   求 时,把x看作常数而对y求导. y f  

ex1.求z=x2+3xgy+y2在点(1,2)处的偏导数 Methodl. c =2x+3y; 03x+2y ax 0a ≈2×1+3×2=8, z x=1=3×1+2×2=7 Method2.∵:z(x,2)=x2+6x+4,z(1,y)=1+3y+y2, 2/=1=(2x+6) 8 2 y=1=(3+2 y 少2≈7 K心

ex1. 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． Method1. =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7 . Method2. ( ,2) 6 4, 2 z x = x + x + (1, ) 1 3 , 2 z y = + y + y =    = = 2 1 y x x z (2 6) 8, 1 + = x= x =   = = 2 1 y x y z (3 2 ) 7. 2 + = y= y

ex2设f(x,y)=x+(y-1) arcsin,,求(x,1) Solution.∴f(x,1)=x,∴f(x,1)=1 ex3.设u=x2,求x,uy,a2 Solution, r=re J U,=x Inx =-“Inx 2=x2lnx:() J x z Inx 2 K心

2. ( , ) ( 1)arcsin , f (x,1). y x ex f x y x y 设 = + − 求 x Solution.  f (x,1) = x,  f (x,1) = 1. x 3. , , , . x y z z y ex 设u = x 求u u u Solution. ux = , −1 z y x z y uy = y z y z y x ln x ( ) ln , 1 x x z z y = uz = z z y z y x ln x ( ) ln . 2 x x z y z y = −

ex4.已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数),求证: ap av aT 1 Proof. P rT ap RT rt aV R pV aT V → T P aT P R dp R op av aT RT V RT ov ot a PR Pv K心

ex4. 已知理想气体的状态方程 pV = RT （R为常数），求证： = −1         p T T V V p . Proof. =  V RT p ; 2 V RT V p = −   =  p RT V ; p R T V =   =  R pV T ; R V p T =   =          p T T V V p 2 V RT − p R  R V  = −1. pV RT = −