中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter5（2）二次型及其标准形

Chapter 5(2 次型及其标准形

Chapter 5(2) 二次型及其标准形

教学要求: 1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念; 2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,了解 用配方法化二次型为标准形的方法

教学要求： 1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解 用配方法化二次型为标准形的方法

二次型及其矩阵表示 二化二次型为标准形 K心

一 .二次型及其矩阵表示 二.化二次型为标准形

二次型及其矩阵表示 K心 1.定义 (1)含有n个变量x1,x2,…,x的二次齐次多项式 f(x1,x2,…,xn)=a1x2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn +a2x2+2a23x2x3+…+2a2nx2xn + 1,n-1~n-1 +2 1,n~n-1~n 2 tannin 称为一个n元二次型(或x1,x2,…,xn的二次型) (2)只含有平方项的二次型称为二次型的标准形 f(1,y2,…,yn)=k1y2+k2y2+…+kny2

一 .二次型及其矩阵表示 1. 定义 ( ) 2 1, 1 2 1, 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , 2 2 nn n n n n n n n n n n n n n a x a x a x x a x a x x a x x f x x x a x a x x a x x + + + + + + + + = + + + − − − − −     (1) 含有n个变量x1 , x2 ,  , xn的二次齐次多项式 ( , , , ) 称为一个n元二次型 或x1 x2  xn的二次型 (2) 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形. ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 , , , n n n f y y  y = k y + k y ++ k y

(3)当系数为实数时叫实二次型; 当系数为复数时叫复二次型 2.矩阵表示 f 2 =a11x1+a12X1X2 +…+a1nX1Xn +a12x12+a22x2+…+a2nx2Cn +aunxixn+,+,,flute =x1(a1x1+a12x2+…+a1nxn) +x2(a12x1+a22x2+.+a2nrn) 十 +xn(anx+a2nx2+.+annen) K心

(3) 当系数为实数时叫实二次型； 当系数为复数时叫复二次型. 2. 矩阵表示 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n n n n nn n n n n n a x x a x x a x a x x a x a x x f a x a x x a x x + + + + + + + + + = + + +     ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +    

1x1+a12x2+…+a1nn x1+a22x2+…+a2m 2 1n1+a2ny2+…+ ar 1a12 12 22 2n 2 2 n n nn 则二次型可记作f=xAx,其中A为对称矩阵 矩阵表示 K心

( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2             + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x        2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2                         = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          A x 则二次型可记作 f = xAx,其中A为对称矩阵. 矩阵表示

A二次型f的矩阵 对应 ∫—矩阵A的二次型 从而矩阵A的秩也叫二次型f的秩 evL。 (1)写出二次型∫=2x1x2+4x1x3-x2+6x2x3+4x3 的矩阵及矩阵表示 20 (2)写出与矩阵A=-205对应的二次型 05-3 K心

A——二次型 f 的矩阵 f ——矩阵A的二次型 一一对应    从而矩阵A的秩也叫二次型 f 的秩. . 0 5 3 2 0 5 1 2 0 (2) . (1) 2 4 6 4 1. 2 2 3 3 2 1 2 1 3 2 写出与矩阵 对应的二次型 的矩阵及矩阵表示 写出二次型           − − − = = + − + + A f x x x x x x x x ex

Solution.(1)∵∫=2x1x2+4x1x3-x2+6x2x3+4x3 0 2 AY2 3 34 012 f=x v 3 \2 3 4LX3 1-13 2 20 (2)∵A=-205 05-3 ∫=x1-4x1x2+10x2x3-3 K心

Solution. (1) 2 4 6 4 2 2 3 3 2  f = x1x2 + x1x3 − x2 + x x + x            = − 2 3 4 1 1 3 0 1 2 A                       = − 3 2 1 1 2 3 2 3 4 1 1 3 0 1 2 x x x f x x x           − − − = 0 5 3 2 0 5 1 2 0 (2)  A 4 10 3 . 2 1 2 2 3 3 2  f = x1 − x x + x x − x

类似地, f(1,y2,…,yn)=k1y2+k2y2+…+kny2 k10 0 2 0‖y2 =(y1,y2…y 00 k人y B 则∫(v1,y2,…,yn)=yBy K心

类似地, ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 , , , n n n f y y  y = k y + k y ++ k y 0 0 0 0 0 0 ( , , , ) 2 1 2 1 1 2                             = y y y k k k y y y n n n          B y ( , , , ) f y1 y2 y y By n 则  = 

3.矩阵的合同 f=xAx==(Cy)'A(Cy)=y(CAC)y=yBy 定理1.若∫=x4x经可逆线性变换x=Cy 变成∫=yB,则 (1)B=CAC,且B为对称阵; (2)r(A)=r(B) Proof.(1)∵A为实对称阵, B′=(CAC)=CAC=CAC=B (2)由C可逆,可知C可逆;又CAC=B, A与B等价,故r(4)=r(B) K心

3. 矩阵的合同 f = xAx (Cy) A(Cy) x Cy ====  = = y(CAC) y = yBy 定理1. 变成 则 若 经可逆线性变换 f y By, f x Ax x Cy =  =  = (1) B = CAC,且B为对称阵; (2) r(A) = r(B). Proof. (1)  A为实对称阵, B = (CAC) = CAC = CAC = B. (2) 由C 可逆,可知C可逆; 又 CAC = B,  A与 B等价, 故 r(A) = r(B)