5.3逻辑方法建模 欧几里德在不加证明而直接采用基本概念和 公理的基础上,运用逻辑推理方法得出了一系列 定理、推论,从而建立了完整的欧几理德几何学, 这一辉煌的成果至今仍然是人类宝贵财富. 逻辑推理建模方法是一种重要的建模方法 一.合作对策模型 从事某一项活动若能多方合作,往往可以获得更 大的总收益(或受到更小的失合作中应该如何 分配收益(或分摊损失)
5.3 逻辑方法建模 欧几里德在不加证明而直接采用基本概念和 公理的基础上, 运用逻辑推理方法得出了一系列 定理、推论, 从而建立了完整的欧几理德几何学， 这一辉煌的成果至今仍然是人类宝贵财富. 逻辑推理建模方法是一种重要的建模方法 一. 合作对策模型 从事某一项活动若能多方合作, 往往可以获得更 大的总收益(或受到更小的损失).合作中应该如何 分配收益（或分摊损失）?
合作对策模型基本思想:采用公理化方法, 从问题应当具有的基本属性出发,运用逻辑推理 方法导出满足这些基本属性的解 例5.3.1有三个位于一条河流同一侧的城镇, 三城镇的污水必须经过处理才能排入河中三方 商议共建一座污水处理厂 城 城 城3)污水厂 20公里 38公里 筹建处
合作对策模型基本思想：采用公理化方法， 从问题应当具有的基本属性出发，运用逻辑推理 方法导出满足这些基本属性的解. 例5.3.1 有三个位于一条河流同一侧的城镇， 三城镇的污水必须经过处理才能排入河中. 三方 商议共建一座污水处理厂. 城1 城2 城3 20公里 38公里 污水厂 筹建处
问题: (1)三个城镇怎样建厂可使总开支最少? (2)每一个城镇的费用各分摊多少? 分析:有五种方案可供选择 (1)三城各建一个处理厂 (2)城l与城2合建一个厂,城3单独建一个 (3)城2与城3合建一个厂,城1单独建一个; (4)城1与城3合建一个厂,城2单独建一个; (5)三城合作建一个处理厂 条件:建设污水处理厂的费用有公式: 管道费用∴=730012(万元 C2=6.6051L(万元
问题： （1）三个城镇怎样建厂可使总开支最少？ （2）每一个城镇的费用各分摊多少？ 分析：有五种方案可供选择 条件：建设污水处理厂的费用有公式： 730 ( ) 0.712 C1 = Q 万元 管道费用： 6.6 ( ) 0.51 C2 = Q L 万元 (1) 三城各建一个处理厂； (2) 城1与城2合建一个厂, 城3单独建一个； (3) 城2与城3合建一个厂, 城1单独建一个； (4) 城1与城3合建一个厂,城2单独建一个； (5) 三城合作建一个处理厂；
Q污水排放量;L管道长度(公里 三个城镇的污水排放量分别为 Q1=5米3/秒,Q23米3秒,Q3=5米3/秒 对各个方案进行费用测算,得 方案总投资城投资城2投资城3投资 (1) 6200230016002300 (2) 5800 2300 (3)59502300 (4) 6230 (5) 5560 ?? 1600 ??? ? 方案5:三个城市合作建厂总投瓷最少.「4
Q—污水排放量；L—管道长度(公里). 三个城镇的污水排放量分别为 Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒. 对各个方案进行费用测算，得 方案 总投资 城1投资 城2投资 城3投资 （1） 6200 2300 1600 2300 （2） 5800 ？ ？ 2300 （3） 5950 2300 ？ ？ （4） 6230 ？ 1600 ？ （5） 5560 ？ ？ ？ 方案(5):三个城市合作建厂总投资最少
问题:三个城市如何分摊费用? 经商讨定下几条原则 1.建厂费用按3个城市的污水量之比5:3:5分摊; 2.城2到城3的管道费按5:3由城1和城2分摊; 3.城到城2的费用由城1自行解决 思考:他们的原则是否有道理? 城1市长的“可行性论证”: 建厂总费用为730×(5+3+5)012=4530万元), 城1负担费用为4530×5/13≈1742万元); 2.城1至城2的管道费用为 6.6×5051×20=300万元);
问题：三个城市如何分摊费用？ 经商讨定下几条原则： 1. 建厂费用按3个城市的污水量之比5:3:5分摊； 2. 城2到城3的管道费按5:3由城1和城2分摊； 3. 城1到城2的费用由城1自行解决. 思考：他们的原则是否有道理？ 城1市长的“可行性论证”: 1. 建厂总费用为 730×(5+3+5)0.712 =4530(万元), 城1负担费用为 4530×5/13≈1742(万元); 2. 城1至城2的管道费用为 6.6×5 0.51×20≈300(万元)；
3.城2至城3的管道费用为 66×(5+3)051×38≈724(万元) 城1负担724×5/8=425.5(万元); 城1总共负担:1742+300+4255=2467(元) 市长的结论:不能接受这样的合作 n人合作对策模型」 Shapley定理:满足公理1~4的ψ(存在并且 唯一,由下式给出: 9()=∑形(S)(S)-(S-1)(1) S∈T2 W(S)= (S-1:(m-|S) (2)
3. 城2至城3的管道费用为 6.6×（5+3）0.51×38≈724(万元) 城1负担 724×5/8=425.5(万元); 城1总共负担：1742+300+425.5=2467(元). 市长的结论：不能接受这样的合作. n人合作对策模型 Shapley定理：满足公理1～4 的Ψ(V)存在并且 唯一，由下式给出： ( ) ( )[ ( ) ( })] (1) = − − S Ti i V W S V S V S i (2) ! ( 1)!( )! ( ) n S n S W S − − =
T是中包含的一切子集构成的集族,表示 集合S中的元素个数 续例1计算城市应承担的费用 T1={42{1,2},{1,3},{1,2,3}, S {1}{1,2}{1,3}{1,2,3} V(S) 04000 640 V(S-{1} 250 V(S)-Ⅴ(S-{1}) 04900 390 22 3 W(SD) 13161/6 1/3 W(S)VS)-V(S-{1})0670130
Ti 是I中包含i的一切子集构成的集族, 表示 集合S中的元素个数， S 续例1 计算城市1应承担的费用 T1={{1}, {1,2}, { 1,3}, {1,2,3}}， V(S－{1}) 0 0 0 250 W( ) [V(S) －V(S－{1})] 0 67 0 130 1 2 2 3 W( ) 1/3 1/6 1/6 1/3 V(S) －V(S－{1}) 0 490 0 390 V(S) 0 400 0 640 S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} S S S
根据公式(1) 9()=∑W(S)(s)-(S- S∈T 67+130=197(万元), 从而城市1应承担投资额为 2300-197=2103(万元) 二,信息模型」 例5.3.2调整气象观察站问题 某地区内有12个气象观察站(位置如图),有 10年各观察站的年降水量数据为了节省开支, 想要适当减少气象站 问题:减少哪些观察站可以使得到的降水量的 信息量仍然足够大?
根据公式(1) = − − 1 ( ) ( )[ ( ) ( })] 1 S T V W S V S V S i 从而城市1应承担投资额为 2300－197=2103(万元). = 67+130=197(万元)， 二.信息模型 例5.3.2 调整气象观察站问题 某地区内有12个气象观察站（位置如图),有 10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支, 想要适当减少气象站. 问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的 信息量仍然足够大？
降水量的信息量仍然足够大? X5 问题:怎样比较信息的大小? 信息的多少能不能度量?
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 问题：怎样比较信息的大小？ 信息的多少能不能度量？ 降水量的信息量仍然足够大？
信息量 认识问题的过程 对一个问题亳无了解时,对它的认识是不 确定的 *在了解过程中,通过获得信息,逐渐消除了不 确定性获得的信忘越多,消除的不确定性就越大 用消除不确定性的多少来度量信息量 例1:到影院寻找一个人,已问到 )甲告诉两条消息:他不坐在前十排,他也 不坐在后十排; (2)乙告诉一条消息:他坐在第十五排
1. 信息量 认识问题的过程： * 对一个问题毫无了解时，对它的认识是不 确定的. * 在了解过程中，通过获得信息，逐渐消除了不 确定性.获得的信息越多,消除的不确定性就越大. 用消除不确定性的多少来度量信息量 例1：到影院寻找一个人，已问到： (1) 甲告诉两条消息：他不坐在前十排，他也 不坐在后十排； (2)乙告诉一条消息：他坐在第十五排