7.3蒙特卡罗拟 蒙特卡罗( Monte-Caro模拟。又称蒙特卡 罗方法、统计试验法等 M-C模拟是静态模拟,描述特时间点上的 系统行为。 基本思想把随机事件 模拟过程中 变量)的概率特征与 不出现时间 数学分析的解联系起来 参数。 概率特征:随机事件的概率和随机变量的 数学期望等。 用试验方法确定
7.3 蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡 罗方法、统计试验法等. M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的 系统行为。 模拟过程中 不出现时间 参数。 基本思想:把随机事件 （变量）的概率特征与 数学分析的解联系起来. 概率特征：随机事件的概率和随机变量的 数学期望等。 用试验方法确定
蒙特卡罗法计算定积分 例7.3.1用M一C模拟求圆周率r的估计值。 设二维随机变量 X,Y)在正方形内服 从均匀分布 (X,Y)落在圆内的 概率为: P{X2+Y21}= 0 计算机上做n次掷点试验: 产生n对二维随机点(x;,y),i=1,2,…n
一. 蒙特卡罗法计算定积分 例7.3.1 用M－C 模拟求圆周率π的估计值。 设二维随机变量 (X, Y)在正方形内服 从均匀分布. (X, Y)落在圆内的 概率为: 1 0 1 P｛X2+Y2≤1}= 4 计算机上做n次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi ) ，i＝1 ,2, …, n
其中,x;和y是RND随机数对 检查每对数是否满足: 相当于第i x+y2≤1。OO(个随机点落 若有k个点落在/4圆内 在14圆内 随机事件“点落入14圆内”的 频率为k/n。 根据概率论中的大数定律,事件发生的频率依 概率收敛于事件发生的概率p,即有 lim PlK-p<e=1 n→O
若有k 个点落在l／4圆内 其中，xi 和yi 是RND 随机数对. 相当于第i 个随机点落 在1/4圆内. 检查每对数是否满足: x 2 i+y2 i ≤1 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n 。 根据概率论中的大数定律，事件发生的频率依 概率收敛于事件发生的概率p，即有 lim { − } =1 → P p n k n
得圆周率π的估计值为元=4k 且当试验次数足够大时,其精度也随之提高。 分析:实际上概率值为 恰为14圆 1-x dx 的面积 0 4 频率法:利用随机变量落进指定区域内的频 率来计算定积分 平均值法:利用随机变量的平均值(数学期望) 来计算定积分。 I=I f(rd
得圆周率π的估计值为 ˆ =4k/n 且当试验次数足够大时，其精度也随之提高。 分析：实际上概率值为 4 1 1 0 2 − x dx = 恰为1/4圆 的面积 频率法： 利用随机变量落进指定区域内的频 率来计算定积分。 平均值法： 利用随机变量的平均值（数学期望) 来计算定积分。 = b a I f (x)dx
平均值法的算法如下 (1)产生RND随机数:r1,r2,…,rn; (2)令ua+(b-a)r,i=1,2,…,n (3)计算∑维为的估计值。 原理分析: 设随机变量12,…,n相互独立,且 5~U(0,1) f(:)},i=1,2,…,n相互独立同分布
平均值法的算法如下： (1)产生RND 随机数：r1，r2，…，rn； （2）令 ui=a＋(b－a)ri，i=1，2，…，n； （3）计算 作为I的估计值。 = − n i i f u n b a 1 ( ) 原理分析： 设随机变量ζ1，ζ2，…，ζn相互独立，且 ζi ～U(0,1)。 ｛f（ξi）｝，i=1，2，…，n 相互独立同分布
b E[f()= f(dx b b-a 由大数定律知 1∑f(5) a e n→>on i=1 b 即以概率为1成立。 当n足够大时,得近似公式: I=f(x)x≈(b-a)∑f() 12 i=1 注:本质上平均值法是用样本平均值作为 总体教学期望的估计
b a I f x dx b a b a − = − ( ) 1 E[f(ξi )]= 由大数定律知 = → − = n i i n b a I f n 1 ( ) 1 lim a.e. 即以概率为1 成立。 当n 足够大时，得近似公式： = − n i i f n b a b a f x dx 1 ( ) 1 I= ( ) ( ) 注：本质上平均值法是用样本平均值作为 总体教学期望的估计
二.蒙特卡罗拟试验次数的确定 M-C模拟是一种试验近似方法,试验次数 如何确定? 希望:模拟次数较少 模拟精度较高 频率法的讨论 频率法是用事件A出现的频率作为概率p的估计: p 向题:试验次数n多大时,对给定的置信度 a(0<a<1),估计精度达到E
二. 蒙特卡罗模拟试验次数的确定 M－C 模拟是一种试验近似方法 , 试验次数 如何确定？ 希望：模拟次数较少、 模拟精度较高 ？ 频率法的讨论 频率法是用事件A出现的频率作为概率p 的估计: n k p n ˆ = 问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信度 1－α（0<α<1），估计精度达到ε
即向:取多大的n使 Plp-pkej=Pn-p1-a 成立? 答案:n=P(1 P)_2 2 一证明 其中,z是正态分布的临界值。 平均值法在给定和ε下所需的试验次数 的估计式为 2。2,2 n =Z C S 2 ∑(xz-x)2 nO i=1
即问：取多大的n 使 − ˆ − = − p 1 n k P p p P n 成立？ 答案： 2 2 (1 ) z p − p n= 其中， zα是正态分布的临界值。 证明 平均值法 在给定α和ε下所需的试验次数 的估计式为 = − − = = 0 1 2 ( ) 0 1 2 1 2 / 2 2 n i x i x n S n z S
试验次数估计式的分析 1.n=P(1-P)2 为估计概率p做 模拟,却又需要 用p去估计模拟 s/8 2 次数n x)2如何计算2? n0-1 解决方法:先做n次模拟(称为学习样本),根 据学习样本 (1)先求出p的估计,再估计模拟次数n
试验次数估计式的分析 = − − = = 0 1 2 ( ) 0 1 2 1 2 / 2 2 n i x i x n S n z S 为估计概率p做 模拟，却又需要 用p去估计模拟 次数n。 如何计算S 2 ？ 解决方法：先做n0 次模拟（称为学习样本)，根 据学习样本 （1）先求出p的估计，再估计模拟次数n: 2 2 (1 ) z p − p 1. n=
(-p)2 2 (2)计算出的样本方差s2,用来估计n。 2.M一C模拟的估计精度与试验次数n的平 方根成反比,若精度提高10倍,则试验次数n 要增大100倍。 P107表64中列出了置信度为0.95时,在不同 精度及概率p条件下频率法所需试验次数 对该表进行分析,能得到什么结论? 1.精度提高,试验次数大幅提高 2.事件发生概率越接近0.5,试验次数越高;
2 2 ˆ(1 ˆ) z p − p n = （2）计算出的样本方差S 2 , 用来估计n。 2. M －C模拟的估计精度ε与试验次数n的平 方根成反比，若精度ε提高10倍，则试验次数n 要增大100倍。 P107表6.4中列出了置信度为0.95 时，在不同 精度ε及概率p条件下频率法所需试验次数。 对该表进行分析，能得到什么结论？ 1. 精度提高，试验次数大幅提高； 2. 事件发生概率越接近0.5，试验次数越高；