实例1常染色体隐性病模型 现在世界上已经发现的遗传病将近4000种 在一般情况下,遗传病是与特殊的种族、部落及 群体有关。例如,镰状网性贫血症一般流行在黑 人中,患者经常未到成年就痛苦地死去,而他们 的父母则是疾病的病源。我们能否尽量减少悲剧 的发生? 问题背景无论是人,还是动、植物都会将 本身的特征遗传给下一代。在常染色体遗传中, 后代是从双亲的基因对中各继承一个基因,形成 自己的基因对(又称基因型),基因对确定了后代 所表现的遗传特性。 如果用A表示常染色体遗传的正常基因,a 表示遗传的不正常基因,则AA,Aa,aa分别是 正常人、隐性患者,显性患者的基因型。 父母的基因型配对对后代基因型的影 响如下: XlAA-AA aa-aa aa-AA aa-Aa Aa-AA Aa-Aa 母的基因
实例 1 常染色体隐性病模型 现在世界上已经发现的遗传病将近 4000 种. 在一般情况下，遗传病是与特殊的种族、部落及 群体有关。例如，镰状网性贫血症一般流行在黑 人中，患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们 的父母则是疾病的病源。我们能否尽量减少悲剧 的发生？ 问题背景 无论是人，还是动、植物都会将 本身的特征遗传给下一代。在常染色体遗传中， 后代是从双亲的基因对中各继承一个基因，形成 自己的基因对（又称基因型），基因对确定了后代 所表现的遗传特性。 如果用 A 表示常染色体遗传的正常基因，a 表示遗传的不正常基因，则 AA，Aa，aa 分别是 正常人、隐性患者，显性患者的基因型。 父母的基因型配对对后代基因型的影 响如下： 父 母 的 基 因 AA-AA aa-aa aa-AA aa-Aa Aa-AA Aa-Aa
AA aa Aa Aa, Aa Aa, AA AA, Aa, aa 型后代的基因型有 1)显性患者的后代不可能是正常人; 2)两个隐性患者结合,他们的后代有三种可 能 3)隐性患者与正常人结合,其后代或是正常 人或是隐性患者。 隐性患者虽然带有不正常的基因,却不会出现显 性特性,不会受到疾病的折磨。 问题分析能否控制或降低遗传病的发病率? 应该采取什么措施? 应使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲,做 以下规定: 正常人不能与显性患者结合 b.隐性患者必须与正常人结合
型 后 代 的 基 因 型 AA aa Aa Aa,Aa Aa,AA AA,Aa,aa 有 1）显性患者的后代不可能是正常人； 2）两个隐性患者结合，他们的后代有三种可 能； 3）隐性患者与正常人结合，其后代或是正常 人或是隐性患者。 隐性患者虽然带有不正常的基因，却不会出现显 性特性，不会受到疾病的折磨。 问题分析 能否控制或降低遗传病的发病率？ 应该采取什么措施？ 应使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲，做 以下规定： a．正常人不能与显性患者结合； b．隐性患者必须与正常人结合
建模考虑按上述控制结合的情况下,后代中隐 性患者的分布情况。设 an一在第n代中AA基因型人数所占的百分 比 bn一在第n代中Aa基因型人数所占的百分 n n=1,2, X()是采取控制措施后,第n代人中正常人及隐 性患者的概率分布。 下表是父母的基因型确定下一代基因型的概率分 布 父母的基因型 AA-AAAA-Aa 后代的AA 1/2 基因型Aa 1/2 令 An={在第n代人中抽出一个正常人}, B={在第n代人中抽出一个隐性患者}, 有
建模 考虑按上述控制结合的情况下，后代中隐 性患者的分布情况。设 an — 在第 n 代中 AA 基因型人数所占的百分 比； bn — 在第 n 代中 Aa 基因型人数所占的百分 比； 记 = bn (n) an X , n=1,2, … X(n) 是采取控制措施后，第 n 代人中正常人及隐 性患者的概率分布。 下表是父母的基因型确定下一代基因型的概率分 布 父母的基因型 AA-AA AA-Aa 后代的 基因型 AA 1 1/2 Aa 0 1/2 令 An={在第 n 代人中抽出一个正常人}， Bn={在第 n 代人中抽出一个隐性患者}， 有
=an-1+ b.=0 +1b 由全概率公式有 P(An)=P(An-1)P(An I An-1)+P(Bn-1)P(An I Bn-1) 1·an,+b 20m-1, P(Bn)=P(An-1) P(Bn I An-1)+ P(B-1)P(B, I Bn-1) 0.an-1+2b 可由矩阵方程确定从第n-1代到第n代基因型 分布 X(u=MX(m1),n=1, 其中 M= 设初始分布为 X (n) ,a0+b0=1, 第n代基因型分布为 X(n)=MnX(),n=1.2.… 利用线性代数知识,求M矩阵的特征值及其所对 应的特征向量,将M对角化
= + = + − − − − 2 1 1 1 2 1 1 1 n 0 n n n n n b a b a a b 由全概率公式有 P(An)=P(An－1) P(An︱An－1)+ P(Bn－1) P(An︱Bn－1) 2 1 1 1 −1 + − = an bn , P(Bn)=P(An－1) P(Bn︱An－1)+ P(Bn－1) P(Bn︱Bn－1) 2 1 1 0 −1 + − = an bn , 可由矩阵方程确定从第 n－1 代到第 n 代基因型 分布 X (n) = MX(n－1), n=1,… 其中 = 2 1 0 2 1 1 M 设初始分布为 = 0 (n) 0 X b a , a0+b0=1, 第 n 代基因型分布为 X(n)=MnX(0) , n=1,2,… 利用线性代数知识，求 M 矩阵的特征值及其所对 应的特征向量，将 M 对角化：
M=PDP-I D 11 其中 P=P 可得: 0 X(o=PDP- X0=10-1 11 b a+b0-()"b ()"b 因为a0+b0=1,所以 1-()"b b= n=1,2, 模型分析 1.当n→∞时,an→1,b→0,即隐性患者会
M=PDP-1 其中 , 2 1 0 1 0 D = , 0 1 1 1 − P = P －1= P 可得： X(n)=PDnP -1X(0)= 0 − 1 1 1 n ) 2 1 0 ( 1 0 0 − 1 1 1 0 0 b a = − n n ) 2 1 0 ( ) 2 1 1 1 ( 0 0 b a = + − 2 0 1 2 0 1 0 0 ( ) ( ) b a b b n n 因为 a0+b0=1,所以 2 0 1 a 1 ( ) b n n = − ， 2 0 1 b ( ) b n n = , n=1,2,… 模型分析 1. → →1, → 0, 当n 时，an bn 即隐性患者会
逐渐消失 2.可推出bn=bn1,说明采取此种控制措施 后,下一代中隐性患者所占比例降低一半 若某地区有10%的黑人是镰状网性贫血症隐性 患者,如果当地政府采取控制结合措施,到下一代 的隐性患者将减少到5%;而且只要进行四代的控 制,隐性患者所占百分比不到1% 通过对所建立的数学模型进行分析,得到控制 结合措施的量化分析结论,该措施切实可行
逐渐消失. 2. 可推出 2 1 1 n = n− b b ，说明采取此种控制措施 后,下一代中隐性患者所占比例降低一半. 若某地区有 10％的黑人是镰状网性贫血症隐性 患者，如果当地政府采取控制结合措施，到下一代 的隐性患者将减少到 5％；而且只要进行四代的控 制，隐性患者所占百分比不到 1％. 通过对所建立的数学模型进行分析，得到控制 结合措施的量化分析结论，该措施切实可行