电子科技大学应用数学学院：《数学建模》例 4.2 航船阻力（徐全智）

例4.2航船阻力 长度为l、吃水深度h的船以速度v航行,若不 考虑风的影响那么航船受到的阻力f除依赖船的诸 变量l,h,ν以外,还与水的参数一密度p,粘性系数 u,以及重力加速度g有关 下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之 间的关系 1.航船问题中涉及的物理量有:阻力f船长L 吃水深度ν,水的密度p,水的粘性系数u,重力 加速度g。要寻求的物理关系记为 Φ(f,l,h,v,p,l,g)=0 2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T,上 述各物理量的量纲表为 L= LMT t=L 可]=LT L-M 山]=L-Mmr [g]=L72 3.写出量纲矩阵

例 4.2 航船阻力 长度为 l、 吃水深度 h 的船以速度 v 航行,若不 考虑风的影响,那么航船受到的阻力 f除依赖船的诸 变量 l, h, v 以外, 还与水的参数—密度ρ,粘性系数 μ,以及重力加速度 g 有关. 下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之 间的关系. 1. 航船问题中涉及的物理量有：阻力 f，船长 l， 吃水深度 v，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力 加速度 g。要寻求的物理关系记为 Ф（f，l，h，v，ρ，μ，g）=0 (1) 2. 这是力学问题，基本量纲选为 L、M、T，上 述各物理量的量纲表为                        = = = = = = = − − − − − − 2 1 1 3 1 2 [ ] [ ] g LT L MT L M v LT h L t L f LMT   3. 写出量纲矩阵

3×7 1000 200-1 0)()的(p)(p) 4.求解齐次线性方程组Y=0,因Rank (A)=r=3,有 m-r=7-3=4个基本解,可取为 f I h g H1=(01-1000 (010-2001) k3=(01011-10) 4=(1-20-2-100 5.给出4个相互独立的无量纲量 元1= T2=lvg 元 2.-2-1 元 (2)

( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 3 7 T M L A           − − − − − −  = (f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g) 4. 求解齐次线性方程组 AY=0， 因 Rank (A)=r=3 ，有 m－r=7－3=4 个基本解，可取为 f l h v ρ μ g          = − − − = − = − = − T T T T Y Y Y Y (1 2 0 2 1 0 0) (0 1 0 1 1 1 0) (0 1 0 2 0 0 1) (0 1 1 0 0 0 0) 4 3 2 1 5. 给出 4 个相互独立的无量纲量          = = = = − − − − − − 2 2 1 4 1 3 2 2 1 1        fl v lv lv g lh (2)

式(2)与中(π1,π2,3,π4)=0等价,中是 未定的函数两式表达了航船问题中各物理量之间 的全部关系。 6.为得到阻力f的表达式,由式(1)及式(2) 中π4的式子可写出 f=Fv2p(丌bx2,my 其中,表示一个未定函数。在流体力学中无量纲 量1g(=m212)称为 Froude数,π3称为 Reynold 数分别记作F=√g,Re=,上式表示为 fPv pp(th, Fr, Re (3) 用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之 间的关系,这个结果用通常的机理分析法是难以 得到的 虽然函数ψ的形式无从知道,但这个表达式 在物理模拟问题中仍有用途 例4.3物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航船 模型,以确定原型航船在海洋中受到的阻力 无量纲量在模型和原型中保持不变的性质,称 为量纲不变性

式（2）与 φ(π1,π2,π3,π4)=0 等价，φ是 未定的函数.两式表达了航船问题中各物理量之间 的全部关系。 6．为得到阻力 f 的表达式，由式（1）及式（2） 中π4 的式子可写出 f=l2 v 2ρψ(π1,π2,π3) 其中,ψ表示一个未定函数。在流体力学中无量纲 量 lg v (=π2 1/2)称为 Froude 数，π3 称为 Reynold 数.分别记作 Fr＝ lg v , Re＝  tv , 上式表示为 f=l2 v 2 ρ ψ (t/h, Fr, Re) （3） 用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之 间的关系，这个结果用通常的机理分析法是难以 得到的. 虽然函数ψ的形式无从知道，但这个表达式 在物理模拟问题中仍有用途. 例 4.3 物理模拟中的比例模型 利用航船阻力问题的结果讨论怎样构造航船 模型，以确定原型航船在海洋中受到的阻力。 无量纲量在模型和原型中保持不变的性质，称 为量纲不变性

模型中的各物理量:f,l,h,v,p,H,g 原型中的各物理量:f,l,h,v,p',,g 有 f= v" h Ig A f=P2y2pw,盖 当无量纲量 lvp / 'v h h vlv,s 成立时,可得 原型航船的阻力f可由模型船的阻力f及其他有 关量算出

模型中的各物理量： f ,l,h,v, ,, g 原型中的各物理量： f  ,l ,h ,v ,  , , g 有 ( , , ) lg 2 2     v lv h l f = l v ( , , ) l g 2 2               =    v l v h l f l v 当无量纲量              = = = lv l v l v v v h l h l , , lg 成立时，可得      = 2 ( ) lv l v f f 原型航船的阻力 fˊ可由模型船的阻力 f 及其他有 关量算出