电子科技大学应用数学学院：《数学建模》测算失败一方开始应投入兵力（徐全智）

3)测算失败一方开始应投入兵力。 设 d 0.15y, 山d 0.1x x(0)=x0=10000,y(0)=y0=5000, 因 ay6=0.15×(5000)2=3.75×10 bx6=0.1×(100002=10×10 有bx6-qv0>0,模型预测x方军队将获胜,Y 方军队要获胜开始投入兵力y应满足: b 0.1 yo>x 10000 10 0.15 y0>8165(名) 4)战斗的持续时间 方法一分析估计 0.1x0=-1000 dt 意味着战斗开始时Y方军队的士兵以每小时1000 人的速度被歼灭,故战斗至少持续50001000=5(小 时)

3) 测算失败一方开始应投入兵力。 设          = = = = = − = − (0) 10000, (0) 5000, 0.1 , 0.15 , 0 0 x x y y x dt dy y dt dx 因 2 2 6 0 ay = 0.15(5000) = 3.7510 2 2 6 0 bx = 0.1(10000) = 1010 有 0 2 0 2 bx0 − ay  ，模型预测 X方军队将获胜, Y 方军队要获胜开始投入兵力 y0 应满足： 2 2 8 0 2 0 10 3 1 10000 0.15 0.1  x =  =  a b y y0>8165(名）. 4） 战斗的持续时间 方法一.分析估计 0.1 0 1000 0 = − = − = x dt dy t 意味着战斗开始时 Y方军队的士兵以每小时 1000 人的速度被歼灭，故战斗至少持续 5000/1000=5（小 时）

战斗结束时X军队余下士兵 (bx6-ay)/b=V10×100-375×10≈7906 (名) 此时,Y军队士兵被歼灭的速度为 ≈-0.1×7901=-790.1 dt 结束 设Y军队士兵被歼灭的速度不变,有 y=-790.1t+5000, 令y=0,解得 t=5000790.1≈632(小时) 分析结果表明,战斗会持续5~6.32(小时)取中 间值约为57(小时 方法二.求解微分方程组 0.15 0.1x dt 0.15 dt y 0.1x d 2x 0.015x=0

战斗结束时 X 军队余下士兵 ( )/ 10 10 3.75 10 7906 2 6 6 0 2 bx0 − ay b =  −   （名）， 此时，Y 军队士兵被歼灭的速度为  −0.17901 = −790.1 dt 结 束 dy 设 Y 军队士兵被歼灭的速度不变，有 y=－790.1t + 5000, 令 y=0, 解得 t=5000/790.1≈6.32(小时). 分析结果表明，战斗会持续 5～6.32（小时）,取中 间值约为 5.7(小时). 方法二. 求解微分方程组        = − = − 0.1 . 0.15 , x dt dy y dt dx        = − = − 0.1 . 0.15 , 2 2 x dt dy dt dy dt d x 0.015 0 2 − x = dt d x

x=Ae √0.015 + Be √0.015 ,t≥0, 代入初始条件,并令t0,有 A+B=10000 对解函数两边求导 d x =√0.015|Ac00-Be00y t≥0 因 J 0.15dt yo=0.15 dt t=0 5000=10、√0.015 (A-B) 0.15 联立(*)和(*)解出A≈1938.14,B≈8061.86。 结论:在任意时刻Y军队的士兵数为 y(t)= 0.15dt √0.015 1938.14 0.015t 8061.86e 0.015t 0.15 ≥0 2t√0.015b 令y=0 ≈4.16

t t x Ae Be 0.015 − 0.015 = + ，t≥0， 代入初始条件，并令 t=0, 有 A+B=10000 （*） 对解函数两边求导 0.015[ ] 0.015t 0.015t Ae Be dt dx − = − ，t≥0 因 dt dx y 0.15 1 = − 0 0 0.15 1 = = − t dt dx y ( ) 0.15 0.015 5000 = y0 = − A− B （**） 联立（*）和（**）解出 A≈1938.14，B≈8061.86。 结论：在任意时刻 Y 军队的士兵数为 dt dx y t 0.15 1 ( ) = − [1938.14 8061.86 ] 0.15 0.015 0.015t 0.015t e e − − − = ,t≥0， 令 y=0 4.16 2 0.015 =  a b e t

t≈582(小时)。 思考:(1)请分析两种测算战斗持续时间方法的优缺点 (2)我们实际上求出了Y方军队的士兵数随时 间变化的规律函数y(t)请分析相对我们的建模目 的,它有什么意义?

t≈5.82（小时）。 思考：（1）请分析两种测算战斗持续时间方法的优缺点； （2）我们实际上求出了 Y 方军队的士兵数随时 间变化的规律函数 y(t),请分析相对我们的建模目 的，它有什么意义？