35求解数学模型 求数学模型的解重要而困难 求解数学模型 「求解纯数学问题 ☆涉及不同数学分支的知识,同时还需借助 与背景知识 针对现实问题建立的数学模型,往往仅可求 数值解 有类问题可采用分析法得到问题的实际解 答(如微分方程定性分析)
3.5 求解数学模型 求数学模型的解重要而困难 求解数学模型 求解纯数学问题 * 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助 与背景知识. * 针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求 数值解. * 有类问题可采用分析法得到问题的实际解 答(如微分方程定性分析)
例3.5.1.稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地 面上,问是否总能设法使它的四条腿同时着地? 假设 21地面为连续曲面.(在Oxyz坐标系中,地 面可用一个连续二元函数z=z(x,y)表示) 2相对于地面的弯曲程度,方桌的腿足够长 3将与地面的接触看成几何上的点接触 建模 绘制方桌的俯视图,设想桌子绕中心O点旋转, 转动角度记为0
例3.5.1．稳定的椅子 将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地 面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时着地？ 假设 *1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地 面可用一个连续二元函数z=z(x,y)表示） *2 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长. *3 将与地面的接触看成几何上的点接触. 建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点旋转， 转动角度记为θ
0 CC 引进函数变量: f()-A、C两腿到地面的距离之和; g()—B、D两腿到地面的距离之和
O A B C D A ’ C’ θ 引进函数变量： f(θ) — A、C 两腿到地面的距离之和； g(θ) — B、D 两腿到地面的距离之和；
由假设*1,f(0)、g(0)都是连续函数, 由*2,方桌腿足够长,至少有三条腿总能同 时着地,故有 f(0)g(0)=0,0∈0,2m」 不妨设敢0)=0、g(0)>0,方桌问题归结为 数学问题 已知f0)和g(0)都是连续函数;f(0)=0、 g(0)>0,且对任意0,都有f(0)g()=0, 求证:存在0,使得0=g(Q 分析:当02时,即AC和BD互换位置
由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数， 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能同 时着地，故有 f(θ)g(θ)=0，θ∈[0，2π] 不妨设 f(0)=0、g(0)＞0 ，方桌问题归结为 数学问题： 已知 f(θ) 和 g(θ) 都是连续函数；f(0)=0、 g(0)＞0，且对任意θ，都有 f(θ)g(θ)=0， 求证：存在θ0，使得f(θ0 )=g(θ0 ). 分析：当θ=π/2时，即AC 和 BD互换位置
故有f(x/2)>0,g(/2)=0 令h(0)=0)-g(0),则有 h(0)0, 因h(0)在[0,m2上连续,根据闭区间 上连续函数的介值定理,存在0∈[0,m2, 使 h(0)=f(0)-g(0)=0 f(0)=g(00) 因对任意0有,f(Og()=0 f()g(0)=0 f(0)=g(0)=0
故有 f(π/2)＞0， g(π/2)=0 令 h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有 因 h(θ) 在 [0, π/2]上连续，根据闭区间 上连续函数的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]， 使 f(θ0 ) = g(θ0 ) 因对任意θ有, f(θ)g(θ)=0 f(θ0 )g(θ0 )=0 f(θ0 )=g(θ0 )=0 h(θ0 )=f(θ0 )－g(θ0 )=0 h(0)＜0，h(π/2)＞0
结论对于四条腿等长,四脚呈正方形的桌子, 在光滑地面上做原地旋转,在不大于π/2的角度 内,必能放平 问题:任意矩形的桌子会怎样? 模型求解需要一定的技巧 例子中的建模及求解技巧 1.用一元变量表示位置; 建立坐标 2.用0的函数表示距离; 3.利用问题的背景条件来求解
结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子， 在光滑地面上做原地旋转，在不大于π/2的角度 内，必能放平. 问题：任意矩形的桌子会怎样？ 模型求解需要一定的技巧 例子中的建模及求解技巧： 1. 用一元变量表示位置； 2. 用θ的函数表示距离； 3. 利用问题的背景条件来求解. 建立坐标
一,近似求解 1.减少模型中变量个数 减少模型中变量个数,简化模型,便于求解 初建立的模型往往包含许多变量,一些变量 对最终结果的影响会大于其他变量的影响 比较变量的数量级,估计变量在模型中的 作用与地位 用记号x~O(10表示“数量x的数量级是10 或“x的值在10的附近
一. 近似求解 1. 减少模型中变量个数 初建立的模型往往包含许多变量，一些变量 对最终结果的影响会大于其他变量的影响； 减少模型中变量个数，简化模型，便于求解 比较变量的数量级，估计变量在模型中的 作用与地位. 用记号 x～O(10)表示“数量x的数量级是10” 或“x的值在10的附近
例3.5.2为研究十八世纪美国的人口增长情况, 建立如下模型 r(1 )N at N(O=No 分析:当时美国人口数量以百万为单位,即有 N(t)~O(10) 最大容许量N的数量单位以亿计,即 N~O(109 从而NN~O(10-2),原模型可以简化为
例3.5.2 为研究十八世纪美国的人口增长情况， 建立如下模型 = = − 0 (0) (1 ) , N N N N N r dt dN M 分析：当时美国人口数量以百万为单位，即有 N(t)～O(107 ) 最大容许量NM的数量单位以亿计，即 NM ～O（109） 从而 N/NM ～O（10－2），原模型可以简化为
dN E r 著名的 at altus模型 N(O=No 其解为 N()=N0e,c0 2.利用泰勒展式近似求解 例34.3零件的参数设计 假定零件参数X;,i=1,2,∴,7是相互独立 的同服从正态分布的随机变量,则函数 Y=f(X1,X22…,X7)
= = (0) 0 , N N rN dt dN 其解为 rt N(t) = N0 e ，t≥0 著名的 Malthus模型 2. 利用泰勒展式近似求解 假定零件参数Xi，i=1，2，…，7 是相互独立 的同服从正态分布的随机变量，则函数 ( , , , ) X1 X2 X7 Y = f 例3.4.3 零件的参数设计
「服从什么分布? 将函数y在标定值(μ1,μ2,…,μ)做泰 勒展开得到y的一阶近似表达式: f(x1,x2,…,x7)=∫(1,p2,…,H7)+ 10(x1,x2,…,x7 (x;-/z) O Y近似表示为相互独立正态随机变量的线性 组合,故可认为Y近似服从正态分布 例3.54广义生日问题(社会保险号码设计问题
服从什么分布？ 将函数y 在标定值（μ1，μ2，…，μ7）做泰 勒展开,得到y的一阶近似表达式： = − = = + 7 1 1 2 7 1 2 7 1 2 7 ( ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) i i i i x x x y x x x f x x x f Y 近似表示为相互独立正态随机变量的线性 组合，故可认为Y近似服从正态分布. 例3.5.4 广义生日问题（社会保险号码设计问题）