中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter2（1-4）矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩

Chapter 1(4) 初等变换与 标准形,矩阵的秩 K四E

Chapter 1(4) 矩阵的初等变换与 标准形，矩阵的秩

教学要求: 1.掌握矩阵的初等变换 2.了解矩阵等价的概念,了解初等矩阵的性质; 3.掌握用初等变换求逆矩阵的方法; 4.了解矩阵秩的概念,会求矩阵的秩 K心

教学要求： 1. 掌握矩阵的初等变换; 2. 了解矩阵等价的概念，了解初等矩阵的性质; 3. 掌握用初等变换求逆矩阵的方法; 4. 了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩

一矩阵的初等变换 二矩阵的标准形 三.初等矩阵 四.可逆矩阵与初等矩阵的关系 五求逆矩阵的方法 六矩阵的秩 K心

一 .矩阵的初等变换 二.矩阵的标准形 三.初等矩阵 四.可逆矩阵与初等矩阵的关系 五.求逆矩阵的方法 六.矩阵的秩

矩阵的初等变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行(对调,两行,记作r分r); (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (第i行乘k,记作r×k) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上 记作r+ry) K心

一 .矩阵的初等变换 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri  rj）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri  k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k +

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”) 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型 相同 r分逆变换分矿 F×k逆变换r×()或÷k k +k,逆变换7+(-k)或F- K心

定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． i j r  r r k i  逆变换 ; i j r  r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri  或 i  i j r + kr 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r −

102 n2-2n 102 如A=2102-+01-40 1213 0234 1021 1000 r3-2n 01-40|=B-0100=C 00114 0010 定义3.如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价,记作AB K心

          − = 1 2 1 3 2 1 0 2 1 0 2 1 如 A ⎯⎯⎯→ + − 3 1 2 2 1 r r r r           − 0 2 3 4 0 1 4 0 1 0 2 1 ⎯⎯⎯→ 3−2 2 r r B  =           − 0 0 11 4 0 1 4 0 1 0 2 1 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 C  =           ⎯→ 定义3. 就称矩阵 与 等价，记作 ． 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩阵 ， A B A B A B 

等价关系的性质 (1)反身性AA; (2)对称性若A≈B,则B≈A; (3)传递性若AsB,BsC,则A≈C. K心

等价关系的性质： （1） 反身性 A  A； （2） 对称性 若 A  B ,则 B  A; （3）传递性 若 A  B,B  C,则 A  C

二矩阵的标准形 10-1012-1121-12 021,0001,00102 0031000000023 都是阶梯形矩阵. 0-104 阶梯形矩阵的特点 0①-103 (1)可划出一条阶梯线, 000①-3 线的下方全为零; 0000 (2)每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面的 第一个元素为非零元,即非零行的第一个非零元 K心

二.矩阵的标准形 . 0 0 0 2 3 0 0 1 0 2 1 2 1 1 2 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 , 0 0 3 0 2 1 1 0 1 都是阶梯形矩阵           −           −           − 阶梯形矩阵的特点： (1)可划出一条阶梯线， 线的下方全为零；             − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 (2)每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的 第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元

0-12-3 20-311 exl化矩阵为阶梯形,其中A 32-403 10-3-56 Solution 1035 20-311 A n4)-n 32-403 0-12-31 1035 6 2 r3+3n 00-9-913 02515-15 0 23 K心

. 1 0 3 5 6 3 2 4 0 3 2 0 3 1 1 0 1 2 3 1 1. ,             − − − − − − − − ex 化矩阵为阶梯形 其中 A = Solution. ⎯⎯ ⎯→ 1− 4 r r A             − − − − − − 0 1 2 3 1 3 2 4 0 3 2 0 3 1 1 1 0 3 5 6 ⎯⎯⎯→ + − 3 1 2 1 3 2 r r r r             − − − − − − 0 1 2 3 1 0 2 5 15 15 0 0 9 9 13 1 0 3 5 6

1035 n2(>r 01-23 5-2 02515-15 00-9-913 103 1035-6 01-2 539 r4+f3 01-23-1 3 0099-13 00-9-913 00000 10000 (阶梯形矩阵) 列变换、01000 00100(标准形) 00000 K心

⎯⎯⎯→ 2 4 r r             − − − − − − 0 0 9 9 13 0 2 5 15 15 0 1 2 3 1 1 0 3 5 6 ⎯⎯⎯→ 3−2 2 r r             − − − − − − 0 0 9 9 13 0 0 9 9 13 0 1 2 3 1 1 0 3 5 6             − − − − ⎯⎯⎯→ + 0 0 0 0 0 0 0 9 9 13 0 1 2 3 1 1 0 3 5 6 4 3 r r (阶梯形矩阵)             ⎯⎯ ⎯→ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 列变换 (标准形)