52微分方程的定性分析 随着科学技术的发展,常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具, 也是数学建模的必备基础理论 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下,能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解 解决方法 求微分方程的数值解 对微分方程进行定性分析
5.2 微分方程的定性分析 随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 一 . 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 法 对微分方程进行定性分析
微分方程定性分析 般提法:不去积分给定的微分方程,而根据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态 基本任务:考虑在有限区域内积分曲线的形状, 或研究当时间无限增大时积分曲线的性态 研究对象:驻定系统 若微分方程组 dti(r 19~2,…5n 其右端的函数不显含自变量t,称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统)
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 微分方程定性分析 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统 f x x x i n dt dx i n i ( , , , ), 1,2, , = 1 2 = 其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统). 若微分方程组
例5.2.1单一质点非受迫直线运动满足下方程 2 +a1(x)+a2(x)=0 dt dt dx 令 v,得一个二维驻定系统 dt at d =-a1(x)u-a2(x)
例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程 1 ( ) 2 ( ) 0 2 2 + + a x = dt dx a x dt d x v, dt dx 令 = 得一个二维驻定系统 = − − = ( ) ( ). , a1 x v a2 x dt dv v dt dx
一般二维驻定系统形式为 dx =P(x, y). (2) (x,y) t 若其解 」x=x(,0,x0,y0) ly=y(, to, *o, yo) 存在且唯一,则在三维空间(x,y,D中有且仅有 条解曲线通过点( Xo you t 基本思想将空间曲线投影到平面上进行分析
一般二维驻定系统形式为 (2) ( , ). ( , ), = = Q x y dt dy P x y dt dx 存在且唯一，则在三维空间(x, y, t)中有且仅有 一条解曲线通过点(x0 , y0 , t0 ). 若其解 （3） ( , , , ) ( , , , ) 0 0 0 0 0 0 = = y y t t x y x x t t x y 基本思想 将空间曲线投影到平面上进行分析
(x,y,t) 解曲线 投影曲线 定义:称平面(x,y)为相平面,称解曲线 在相平面上的投影为相轨线,相轨线族称为 相位图
x y t o t0 (x,y,t) 解曲线 投影曲线 定义：称平面 (x, y)为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图
轨线方程可由原方程(2)消去t而得到,相 点的运动方向可由原方程确定 若点(xy)使P(x,yo)=Q(x,y)=0,称(x,y0 为方程(2)的平衡点 对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究 二.战斗模型分析 续例5.2两方军队交战希望为这场战斗建 立一个数学模型,应用这个模型达到如下目的:
轨线方程可由原方程（2）消去t 而得到, 相 点的运动方向可由原方程确定. 对系统运动的研究归结为对轨线性质的研究. 若点(x0 , y0 )使 P(x0 , y0 )= Q(x0 , y0 )=0, 称(x0 , y0 ) 为方程(2)的平衡点. 二. 战斗模型分析 续例5.1.2 两方军队交战,希望为这场战斗建 立一个数学模型, 应用这个模型达到如下目的：
1.预测哪一方将获胜? 2估计获胜的一方最后剩下多少士兵? 3.计算失败的一方开始时必须投入多少土兵 才能赢得这场战斗? 4.战斗持续时间? 记x()—t时刻X方存活的士兵数; y()-t时刻Y方存活的士兵数 有微分方程组: =-y,(>0) dy =-bx,(b>0)
3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵 才能赢得这场战斗？ 记 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数； 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 有微分方程组： = −ay,(a 0) dt dx = −bx,(b 0) dt dy 4. 战斗持续时间？
初始条件为x(0)=xm,y(0)=o 模型分析 .分析方程组 1)变量x0,y0,有唯一平衡点(0,0) 2)x(),y(O都是单降函数,且随着x,y的减小 衰减速度也在降低 2分析相位图 1)求相轨线方程,将两个方程相除,得 bx ayay= bar
初始条件为 x(0)=x0 , y(0)=y0 模型分析: 1. 分析方程组 1）变量 x≥0，y≥0，有唯一平衡点(0, 0); 2）x(t)，y(t)都是单降函数, 且随着x, y的减小， 衰减速度也在降低. 2. 分析相位图 1） 求相轨线方程，将两个方程相除，得 ay bx dx dy = aydy = bxdx
av2=bx2 +c 双曲 代入初始条件,有0 2=bxo2+c 线族 a(y-y0)=(x22~。0 2)预测何方军队获胜将剩下多少土兵 (1)若ay 线方程化为 b bx 场势均力敌的,导致 相互毁灭的战斗
ay = bx + c 2 2 代入初始条件，有 ay = bx + c 2 0 2 0 ( ) ( ) 2 0 2 2 0 2 a y − y = b x − x 双曲 线族 2） 预测何方军队获胜, 将剩下多少士兵. (1)若 ,解曲线方程化为 2 0 2 0 ay = bx 2 2 ay = bx x a b y = 一场势均力敌的,导致 相互毁灭的战斗
(2)若叫g>bx,从相位图观察出Y方将获胜 J Y方胜 0 X方胜 证明令y=0,由轨线方程得 -a=b(x2-x6)
0 x y (x0 ,y0 ) Y方胜 X方胜 （2）若 , 从相位图观察出Y方将获胜. 2 0 2 0 ay bx 证明 令 y=0, 由轨线方程得 ( ) 2 0 2 2 − ay0 = b x − x