中南大学：《大学数学》课程PPT教学课件（微积分案例题解）chapter5（2）一阶线性微分方程

Chapter 5(2) 与一阶线微 冈图D

教学要求 (1)掌握一阶线性微分方程的解法; (2)会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程; (3)会用简单的变量代换解某些微分方程 圆心

教学要求 (1) 掌握一阶线性微分方程的解法; (2) 会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程; (3) 会用简单的变量代换解某些微分方程

齐次方程 二.可化为齐次的方程 三.一阶线性微分方程 四.贝努利方程 五.全微分方程 心

一.齐次方程 三.一阶线性微分方程 四.贝努利方程 二.可化为齐次的方程 五.全微分方程

齐次方程 1.定义: 形如=f()或=v()的微分方程称为齐次方程 dy yx 如dx r zy (x°+y)dx-3xy2dy=0 对于P(x,y)ldx+Q(x,y)dy=0, P(x,y),Q(x,y)为同次齐次函数

一、齐次方程 1. 定义： ( ) ( ) y x y x y f dx dy 形如  或   的微分方程称为齐次方程. , 2 y x x y dx dy 如   ( ) 3 0. 3 3 2 x  y dx  xy dy  ( , ), ( , ) . ( , ) ( , ) 0, 为同次齐次函数 对于 P x y Q x y P x y dx  Q x y dy 

2.解法: 作变量代换u=,即y=x, 小y =u+x dx 代入原式a+x,=f(un), 即 du f(u)-u 可分离变量的方程 两边积分∫ L ∫(u)-lJx 积出结果用代u才得所求齐次方程的通解 心

2. 解法： , x y 作变量代换 u  即 y  xu, 代入原式 , dx du u x dx dy    f (u), dx du u  x  . ( ) x f u u dx du  即  可分离变量的方程     x dx f u u du ( ) 两边积分 积出结果用 代u才得所求齐次方程的通 解. x y

Example 1.求解微分方程 (x-ycos") dx +xcosdy=0. Solution.令n=,则y=xl→hy=xn+udx (x-ux cos u )d xcosu(udx + xdu)=0, cosudu= sinu=-Inlx+C 微分方程的解为siny=-lmx+C

Example 1. 求解微分方程 (  cos )  cos dy  0. x y dx x x y x y 令 ， x y u  则 y  xu, (x  uxcosu)dx  xcosu(udx  xdu)  0, cos , x dx udu   sinu   ln x  C, sin ln x C. x y 微分方程的解为    Solution. dy xduudx

Example2.设「12()+2+p2(O)= 且当x=1时y=0,求y(x) Solution原方程两边求导得x+y=2y+x2+y2 +11+ d y au L,则y=x, u+x dx dx 代入并化简得x d =√1+l 分离变量得 dx 1+L 2 圆心

Example 2. 1 0, ( ). [2 ( ) ( )] , 0 2 2 x y y x y t t y t dt xy x 且当 时 求 设       Solution.原方程两边求导得 2 , 2 2 xy  y  y  x  y 1 . 2 2 x y x y 即 y    u, y xu, x y 令  则  , dx du u x dx dy    代入并化简得 1 , 2 u dx du x   , 1 2 x dx u du   分离变量得

两边积分得Inu+1+l2=lnx+lnC 将n=”代入化简得所求通解为y+x2+y2=Cx2 又当x=时y=0,则得C=1 所求特解为y+x2+y2=x2 圆心

ln u 1 u ln x lnC 2 两边积分得     . 2 2 2 y x y Cx x y 将u  代入化简得所求通解为    又当x  1时y  0,则得C  1. . 2 2 2 所求特解为 y  x  y  x

二、可化为齐次的方程 1.定义:形如可=∫ ax+ by+c )的微分方程 ax+b,y+CI 当c=c1=0时,为齐次方程否则为非齐次方程 2.解法:令 x=X+h dx =d dy= dy y=r+k ah+bk +c=0 dy aX+bY+ah+bk+c、令 f( la,h+b,k+C1=0 q1X+b+ah+bk+C求得hk. 从而=f( aX+br )为齐次方程 a,X+br 圆心

二、可化为齐次的方程 形如 ( )的微分方程 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy      0 , 为齐次方程. 当c  c1  时 ,        y Y k x X h 令 dx  dX, dy  dY 否则为非齐次方程. ( ) 1 1 1 1 1 a X b Y a h b k c aX bY ah bk c f dX dY          2.解法： 1.定义： , . 0 0 1 1 1 h k a h b k c ah bk c 求得 令          ( ) . 1 1 从而 为齐次方程 a X b Y aX bY f dX dY   

Example3.求 中yx-y+1 的通解 dx x+ y-3 h-k+1=0 Solution.由 h+k_3,→h=1,k=2 令x= X+1,y Y+2 代入原方程得 dr X-Y dX X+y 令u Y X 方程变为u+X au L dX 1+u 心

. 3 1 求 的通解      x y x y dx dy Solution. , 3 0 1 0          h k h k 由  h  1, k  2. 令 x  X  1, y  Y  2. , X Y X Y dX dY   代入原方程得  令 ， X Y u  Example 3. , 1 1 u u dX du u X   方程变为  