教学模型概论
数学模型 概论
关于模型 模型是反映某事物某些属性的一个结构.(仿 制品) 这种结构有实物型的,也有抽象的从而 模型有实物模型和抽象模型之分如飞机模 型、建筑物模型等是实物模型,而数学模型 是抽象模型 所谓抽象模型是用字母、符号、关系式等 抽象语言刻划出某种特定事物的一个结构
关于模型 模型是反映某事物某些属性的一个结构. (仿 制品) 这种结构有实物型的,也有抽象的.从而 模型有实物模型和抽象模型之分.如飞机模 型、建筑物模型等是实物模型,而数学模型 是抽象模型. 所谓抽象模型是用字母、符号、关系式等 抽象语言刻划出某种特定事物的一个结构
对于数学模型的定义,目前有诸多不同的表述 简单地说:数学模型就是用数学语言和方法对实际问 题的抽象和描述 在姜启源《数学模型》(即本书)为: 对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的, 根据特有的内在规律做出一些必要的简化假设运用 适当的数学工具得到的一个数学结构 E.A. Bender的定义:数学模型是关于部分现实世界为 定目的而作的抽象、简化的数学结构。更简洁地说: 数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述
对于数学模型的定义,目前有诸多不同的表述. 简单地说: 数学模型就是用数学语言和方法对实际问 题的抽象和描述. 在姜启源《数学模型》（即本书）为: 对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的, 根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用 适当的数学工具得到的一个数学结构. E.A.Bender的定义：数学模型是关于部分现实世界为 一定目的而作的抽象、简化的数学结构。 更简洁地说： 数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述
数学建模与大学生数学建模竞赛 数学建模是建立数学模型的过程 大学生数学建模竞赛最早是在美国开展的现在我 国每年也进行一次全国大学生数学建模竞赛这种竞 赛是一种特殊的考试它并不是只考数学知识而 是对参赛选手综合能力的测试没有固定的考 场可以到处查找资料利用计算机队内可以互 相讨论没有固定的答案 实际上,对于数学建模我们并不陌生如数学课程中 的求解应用问题 下面看几个简单的数学模型
数学建模与大学生数学建模竞赛 数学建模是建立数学模型的过程. 大学生数学建模竞赛:最早是在美国开展的,现在我 国每年也进行一次全国大学生数学建模竞赛.这种竞 赛是一种特殊的考试,它并不是只考数学知识,而 是对参赛选手综合能力的测试,没有固定的考 场,可以到处查找资料,利用计算机,队内可以互 相讨论,没有固定的答案. 实际上,对于数学建模我们并不陌生.如数学课程中 的求解应用问题. 下面看几个简单的数学模型
问题一:椅子问题 在现实生活中,当椅子放不平稳时,我们一般 怎么办? 用数学工具证实:在不平的地面上椅子常只 有三只脚着地,但只要稍微挪动几次就可使 四只脚着地
问题一: 椅子问题 在现实生活中，当椅子放不平稳时，我们一般 怎么办？ 用数学工具证实:在不平的地面上,椅子常只 有三只脚着地,但只要稍微挪动几次,就可使 四只脚着地
分析要用数学方法讨论此问题,必须建立相应的数 量关系如考虑 用什么来衡量椅子的脚着地与不着地? 怎样表示椅子的挪动? 由于一般三只脚总是能同时着地所以我们只要能 证明:一定能找到使椅子的脚与地面距离同时为零的点 即可 中心问题是:用数学语言把椅子四脚同时着地的条 件和结论表示出来 另外,如果椅子脚的长短相差太大或地面凹凸起伏 太大,可能无法将椅子放稳,所以为使问题简化,必须 给出适当的假设
分析:要用数学方法讨论此问题, 必须建立相应的数 量关系.如考虑 用什么来衡量椅子的脚着地与不着地? 怎样表示椅子的挪动? 由于一般三只脚总是能同时着地,所以我们只要能 证明:一定能找到使椅子的脚与地面距离同时为零的点 即可. 中心问题是: 用数学语言把椅子四脚同时着地的条 件和结论表示出来. 另外, 如果椅子脚的长短相差太大或地面凹凸起伏 太大, 可能无法将椅子放稳, 所以为使问题简化, 必须 给出适当的假设
模型假设 为了将问题简化和解决问题的方便,我们考虑如下 假设: 1.椅子四只脚一样长,与地面接触可视为一个 点 2四只脚的连线呈正方形; 3地面高度是连续变化的,不出现间断 4.地面相对平坦椅子在任何位置至少有三只 脚着地
模型假设: 为了将问题简化和解决问题的方便，我们考虑如下 假设： 1.椅子四只脚一样长,与地面接触可视为一个 点; 2.四只脚的连线呈正方形; 3.地面高度是连续变化的,不出现间断; 4.地面相对平坦,椅子在任何位置至少有三只 脚着地
模型构成 设O为椅子脚连线所得正方形的中心如图建立直 角坐标系,表示椅子的初始位置ABCD.↑y B B 用椅子绕中心旋转表示其 A 挪动.给定旋转角度0就能 确定椅子的位置 0 a x 设f0)、g(θ分别表示椅 子在0角度时,A、C「两 脚与地面距离之和与 C B′、D两脚与地面距离 之和
模型构成 设O为椅子脚连线所得正方形的中心.如图建立直 角坐标系,表示椅子的初始位置ABCD. 用椅子绕中心旋转表示其 挪动. 给定旋转角度就能 确定椅子的位置. 设f()、g()分别表示椅 子在角度时, A′ 、C ′两 脚与地面距离之和与 B ′ 、D ′两脚与地面距离 之和. A x y o B C D A ′ B ′ C ′ D ′
设f0)、g(分别表示椅子 模型构成 在角度时,A、C两脚与 地面距离之和与B D两脚与地面距离之和 y B B A 显然,f(0)≥0,g(0)≥0 且由于三脚必然同时 0 着地,则 a x f(6)·g(0)=0 C 不妨设,在θ=0时,f(0)>0,g(=0
模型构成 显然, f()0, g() 0. 且由于三脚必然同时 着地,则 f()·g() = 0. 不妨设, 在 = 0时, f()>0, g()=0. 设f()、g()分别表示椅子 在角度时, A′ 、C ′两脚与 地面距离之和与 B ′ 、 D ′两脚与地面距离之和. A x y o B C D A ′ B ′ C ′ D ′
从而挪动椅子的位置使四脚同时着地的问题,就归结 为证明下面数学命题: 已知f(6),g()是硝的连续函数对任意, f(O)·g(0)=0,且g(0)=0,f(0)>0 求证:存在6,使f(O)=g()=0 上述就是椅子问题的数学模型 接下来就是 证明这一命题成立
从而,挪动椅子的位置使四脚同时着地的问题,就归结 为证明下面数学命题: : , ( ) ( ) 0. ( ) ( ) 0, (0) 0, (0) 0, ( ), ( ) , , 0 0 = 0 = = = f g f g g f f g 求 证 存 在 使 且 已 知 是 的连续函数 对任意 上述就是椅子问题的数学模型. 接下来就是 证明这一命题成立 A x y o B C D A ′ B ′ C ′ D ′