量纲分析与无量纲化 量纲齐次原理 许多物理量是有量纲的,其中有些物理量的量 纲是基本的有些物理量的量纲则可以依定义 或物理定律推导出来量x量纲记号[x如:
量纲分析与无量纲化 一 . 量纲齐次原理 许多物理量是有量纲的,其中有些物理量的量 纲是基本的,有些物理量的量纲则可以依定义 或物理定律推导出来.量x量纲记号[x]如:
动力学:长度l质量m,时间量纲为基本量纲 分别记做L,M,T即 ]=D,[m]=M,[=T 其他量纲速度v=,故叫=Lr; 加速度a= d,故l1=LT2 d t 力f:由牛顿第二定律=m知,=LMr 动量m=LM;压强=f/S=LM
, [ ] ; −1 = v = LT dt dx 速度v 故 , [ ] ; −2 = a = LT dt dv 加速度a 故 : ,[ ] ; −2 力f 由牛顿第二定律f = ma知 f = LMT 动力学:长度l,质量m,时间t的量纲为基本量纲, 分别记做L,M,T.即 [ ] ; [ ] [ / ] . −1 −1 −2 动 量 mv = LMT 压 强 p = f S = L MT 其他量纲 [l] = L, [m] = M, [t] = T
有些物理常数比例系数也是有量纲的,如 万有引力常数由=k"m2知k1=EM72; 胡克定律中的比例系数f=kx,则k=M2 类似地在我们前面讲过的 Malthus人口模型中 dx(t) r·x(t) dt 这里的r也是有量纲的[r=T1而离散的指数增 长模型中的r是无量纲的另外,即使t的时间单 位为年,二者的值也是稍有不同 门]=LM2
有些物理常数,比例系数也是有量纲的,如 : ,[ ] ; 3 1 2 2 1 2 − − = k = L M T r m m 万有引力常数 由f k 知 [ ] ; −2 f = LMT : , [ ] . −2 胡克定律中的比例系数 f = kx 则 k = MT 类似地在我们前面讲过的Malthus人口模型中 ( ) ( ) r x t dt dx t = 这里的r也是有量纲的[r]=T-1 .而离散的指数增 长模型中的r是无量纲的.另外,即使t的时间单 位为年,二者的值也是稍有不同
常用的基本量纲: 热学:L,M,T及温度的量纲; 电学:L,M,T及电量q的量纲Q 另外,无量纲量c的量纲记做|c=1如314]=1,后 面常用π 量纲齐次原理用数学式子表示一个物 理定律时,等号两端必须保持量纲一致 Dimensional Homogeneity
常用的基本量纲: 热学: L,M,T及温度的量纲; 电学: L,M,T及电量q的量纲Q. 另外,无量纲量c的量纲记做[c]=1.如[3.14]=1,后 面常用π. 量纲齐次原理 用数学式子表示一个物 理定律时,等号两端必须保持量纲一致. Dimensional Homogeneity
例1单摆运动质量为m的小球系在长为残线的 端,另一端固定,让小球偏离平衡位置,则小球 在重力mg作用下做往复运动求周期t 我们用量纲分析来求周期t的表达式,出现的物 理量有mg,1我们设 t=Mm1g,常数a,B,?待定;为无量纲量 两边取量纲得:T=M“D(LT2)
例1 单摆运动 质量为m的小球系在长为l线的 一端,另一端固定,让小球偏离平衡位置,则小球 在重力mg作用下做往复运动.求周期t. 我们用量纲分析来求周期t的表达式,出现的物 理量有m,g,t,l.我们设 ,常 数, ,待 定;为无量纲量. t = m l g : ( ) −2 两边取量纲得 T = M L LT
T=M“D(LT2)y 由量纲齐次原理比较各基本量纲的幂得 =0, a=0 B+y=0解得B=1/2 y=1。 1/2 于是我们得到单摆运动周期为t=元 事实上单摆运动的周期t=2丌 下面我们将此方法一般化
( ) −2 T = M L LT = − = = − = + = = 1/ 2. 1/ 2, 0, 2 1. 0, 0, , 解 得 由量纲齐次原理比较各基本量纲的幂得 . g l 于是我们得到单摆运动的周期为 t = 2 . g l 事实上单摆运动的周期为 t = 下面我们将此方法一般化
设各变量间有关系式∫(t,m,l,g)=0(1) 并设(1)式可写成t"m"1Bgy=x,(2) (2)试式取量纲得TMD(LT2)y=MT" a=0 由量纲齐次原理得{B+y=0, (3) 解(3)得线性无关解为(y,a,B,y)=(2,0,-1,1).(4) 将(4代入(2)即得关系式t2g/l= (5) 从而(1)就可写做f()=0
(1) , (2) t m l g = 并 设 式可写成 y 设各变量间有关系式 f (t,m,l, g) = 0 (1) (2) ( ) . 2 0 0 0 T M L LT L M T y = 式取量纲得 − (3) 2 0. 0, 0, − = + = = y 由量纲齐次原理得 (3) ( , , , ) (2,0, 1,1) . (4) T T 解 得线性无关解为 y = − (4) (2) / . (5) 2 将 代 入 即得关系式 t g l = 从而(1)就可写做 f () = 0
Ⅱ定理设有m个物理量1,q2,…,qn, f(q1,q2,…,qm)=0 (6 是与量纲单位选择无关物理定律X1,…,X为 基本量纲n≤m记 = 称A=(a1)为量纲矩阵若R(A)=r,则齐次线性 方程组A=O有m-r个线性无关的解 ys=(1,y2,…’ysn),S=1,…,m 则有m-r个线性无关的无量量纲,=q 且F(m1,…,丌m,)=0与(6式等价
Π定理 , , , , 设有m个物理量q1 q2 qm ( , , , ) 0 (6) f q1 q2 qm = 基本量纲 记 是与量纲单位选择无关的物理定律 为 , . . , , 1 n m X Xn [ ] , 1, , . 1 q X j m n i j i = ij = = y ( , , , ) , 1, , . A : A ( ) . ( ) , 1 2 y y y s m r y O m r a R A r T s s s s m i j n m = = − = − = = 方程组 有 个线性无关的解 称 为量纲矩阵若 则齐次线性 − = . s j y s qj 则 有m r个线性无关的无量量纲 ( , , ) 0 (6) . 且 F 1 m−r = 与 式等价
下面我们通过一个例子来说明这个定理的应用 例2航船阻力问题 长L吃水深h的船以速度ν航行不考虑风的影响 则航船所受的阻力除了与L,h,相关外还与水 的参数-密度p粘性系数及重力加速度g有关 试确定/与它们的关系 解:下面我们按照定理的过程来做 设关系式为q(f1,h,,p,2g)=0 取基本量纲为,M,T由于 p|=°M,[A=[p/]=LMT 回忆:压强p=[f/Sl=L1Mm2
下面我们通过一个例子来说明这个定理的应用. 例2 航船阻力问题 长l,吃水深h的船以速度v航行.不考虑风的影响, 则航船所受的阻力f除了与l,h,v相关外,还与水 的参数----密度ρ,粘性系数μ及重力加速度g有关. 试确定f与它们的关系. 解:下面我们按照定理的过程来做. 设关系式为 ( f,l,h,v,,, g) = 0 (7) 取基本量纲为L,M,T.由于 [ ] ,[ ] [ / ] . −3 −1 −1 = = = L MT x v L M p [ ] [ / ] . −1 −2 回忆：压强 p = f S = L MT
因此量纲矩阵为 1111-3-11 L A=1000110 M 200-10-1-2 f l h v pug 易验证R(4)=3因此其一个基础解系含个解向量: 0 0000 010-001 01011 0 2,y 0
− − − − − − = 2 0 0 1 0 1 2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 3 1 1 A 因此量纲矩阵为 T M L f l h v g 易验证R(A) = 3.因此其一个基础解系含4个解向量: , 0 0 0 0 1 1 0 y1 − = , 1 0 0 2 0 1 0 y2 = − , 0 1 1 1 0 1 0 y3 − = , 0 0 1 2 0 2 1 y4 − − − =