华东交通大学：《数学模型》课程教学资源（PPT讲稿）万有引力定律的发现

万有引力定律的发现

万有引力定律的发现

历史背景:15世纪后期欧洲商品经济的繁荣促进 了航海技术的发展后者进一步促进了天文学的发 展天文观测的精度不断提高哥白尼提出“日心 说″,开普勒在第谷的大量的天文观测数据的基础 上运用数学方法归纳出著名的开普勒三大定律: 开1)各行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行, 太阳位于这些椭圆的一个焦点上; 〔开2)每颗行星运行过程中单位时间内太阳行星 向径扫过的面积是常数; (开3)各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半 轴的三次方成正比

历史背景:15世纪后期,欧洲商品经济的繁荣促进 了航海技术的发展,后者进一步促进了天文学的发 展,天文观测的精度不断提高.哥白尼提出“日心 说”,开普勒在第谷的大量的天文观测数据的基础 上运用数学方法归纳出著名的开普勒三大定律: (开1) 各行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行, 太阳位于这些椭圆的一个焦点上; (开2) 每颗行星运行过程中单位时间内,太阳—行星 向径扫过的面积是常数; (开3) 各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半 轴的三次方成正比

此时还有大物理学家伽利略、胡克、惠更斯等, 它们都各有自己的贡献,但是,由于没有处理变 速度的方法,因而终究没有能发现有关引力的定律 而牛顿集大数学家和大物理学家于一身运用微积 分的方法发现了万有引力定律牛顿当时用的是称 为“流数法”不是我们今天微积分记号 模型假设开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万 有引力定律的基础即为我们推导万有引力定律的己 知知识我们用假设条件把宅们写出

此时,还有大物理学家伽利略、胡克、惠更斯等， 它们都各有自己的贡献，但是，由于没有处理变 速度的方法,因而,终究没有能发现有关引力的定律. 而牛顿集大数学家和大物理学家于一身,运用微积 分的方法,发现了万有引力定律.牛顿当时用的是称 为“流数法”.不是我们今天微积分记号. 模型假设 开普勒三定律和牛顿第二定律是导出万 有引力定律的基础,即为我们推导万有引力定律的已 知知识,我们用假设条件把它们写出

我们建立如图所示的坐标系太阳位于0行星 位于P我们用向径r表示P的位置向量(xJ) 1在极坐标系下轨道方程为 其中 1+ecos 6 b a=-b 0 这里a,b为椭圆 的长短半轴,e为 离心 X+c 十 2 b

我们建立如图所示的坐标系,太阳位于O,行星 位于P.我们用向径r表示P的位置向量(x,y). O P y x uθ ur r 1.在极坐标系下轨道方程为 , , , 1 cos 2 2 2 a a b e a b p e p r − = = + = 其 中  这里a,b为椭圆 的长,短半轴,e为 离心率. θ , ( ) 1 2 2 2 2 + = + b y a x c 2 2 c = a −b

2单位时间内向径扫过的面积积为常A即 24 r26(t)=A.→6(1)=-2,TA=mb 由开2 定律: S(t)= r(6)d0= r|6(t)|6(t)t=At 2 2 3行星周期T满足T2=Aa3.其中元 与行星无关,为绝对常数 4行星运行时的作用力f等于其质量m与 其加速度之积,即f=mi =(x,y),V=(x(t),j(t)=r,r=(i(t),j()

2.单位时间内向径扫过的面积积为常A,即 , . 3. . 2 3 行星无关 为绝对常数 行星周期 满足 与 T T = a 其中 m . m r , f r 4. f 其加速度之积 即 =  行星运行时的作用力 等于其质量 与 S t r d r t t dt At t = =  =   0 2 0 2 [ ( )] ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( )     由开  2 定律: TA ab r A r θ(t) = A. θ(t) = , =  2 2 2 2 1   r = (x, y), v = (x (t), y (t)) = r  ,  r  = ( x (t),  y (t))

向量求导(x()y(O)的导数为x()y(0)故 r=ur=1+。 模型建立为了求出力f,就必须求出r的二阶 导数为此设与人同向的单位向量为u于是 u,=cos 6i+sin 6j, u, =(cos 6j-sin 816, 记u= cos 8 j-sini,于是t u=ue 我们得到r=+m,=un+ra,故 r=ru tru.truo+ru0tru e

模型建立 为了求出力f,就必须求出r的二阶 导数.为此设与人同向的单位向量为ur ,于是 u cos j sin i, u u ,u u . u cos i sin j, u (cos j sin i) , r r r r                   = − = = − = + = − 记 于 是 r u u u u ,     r  r  r  r 我们得到 = r + r = r +               u u u u u r r r r r r = r + r + + + 故 r u ,r u u . r r r = r  = r  + r  向量求导(x(t),y(t))的导数为(x ´(t),y ´(t)).故

我们得到r=+m=闻+u0日,故 r=ru tru tru6tru0tru e =(-rb)un+(216+r6u 2A 4Ar =(-r62)u,+(2-2+r ")u(假设2) r26(1)=A (-r62)u 2

r u u u u ,     r  r  r  r 我们得到 = r + r = r +               u u u u u r r r r r r = r + r + + + u ( )u ( )          r  r r r = − r + 2 + 2 ( )u ( )u ( ) 2 2 4 2 2 3  2  假 设 r Ar r r A r r r r     − = − + + r (r r )u 2   = − 故  r θ  (t) = A 2 2 1

再由假设1和2得到 1+ecos日 26()=A (1+esb)s4, pesin 66 2Ae cos 68 4ge 44(p-r) COS r=(-r02)un=( 4A(p )4A 从而 4A2 442m 故f= u 这已经是万有引力定律的形式了只要我们再证明 A2/p是一个绝对常数与行星无关即可

再由假设1和2,得到 sin , 2 (1 cos ) sin 2    p Ae e pe r = + =   , 4 ( ) cos 4 cos 2 3 2 2 2 pr A p r pr A e p Ae r − =   =  = 从而 , 4 ) 4 ( ) 4 ( ) ( 2 2 4 2 3 2 2 r r r pr A r A r pr A p r r r u r u u − = − −  = −   = f u . r pr A m 2 2 − 4 故 = 这已经是万有引力定律的形式了,只要我们再证明 A2 /p是一个绝对常数,与行星无关即可. , 1 e cos p r + = r θ(t) = A 2 1 2 

由假设3,我们得到TA=ab,于是 A' (Tab (ab) T pp pa3元 上式表明Ap是一个绝对常数它只与太阳有关 于是我们得到 42m 进一步我们由牛顿第三定律得到万有引力定理: Mn f=-k k为万有引力常数

由假设3,我们得到 TA=πab,于是 . ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2      = = = p a ab pT ab p A 上式表明A2 /p是一个绝对常数,它只与太阳有关. 于是我们得到 f u , r r Mm k 2 = − . 4 2 2 r r m f u  −  = 进一步,我们由牛顿第三定律得到万有引力定理: k为万有引力常数

椭圆方程为x2y"21( 2 2 xfc 十 2 2 2 b 2 代入x=rcos,y=rsin得 b r(bcos 6+asin 6)+2bc 6.r-b=0 解这个关于r的方程得 bcos 8+ab y b2 c0s20+a sin2 0 (bcos 6+a)b -c c0s2+a2 2 b a+ccos0 1+ e

O y x r θ y  x  O 椭圆方程为 1 ( ) 1, 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + =  +  b y a x c b y a x 2 2 代入x = r cos, y = rsin得 c = a − b ( cos sin ) 2 cos 0 2 2 2 2 2 2 4 r b  + a  + b c  r − b = 解这个关于r的方程得        cos 1 cos cos ( cos ) cos sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 e p a c b c a b c a b b a b c ab r + = + = − + − + = + − + =