再生资源管理模型
再生资源管理模型
1产量模型 我们来研究一些再生资源的可持续发展问题象渔业, 林业等再生资源,一定要注意适度开发应防止“竭泽 而渔”,应在持续稳产的前提下追求产量或经济效益 的优化下面我们考虑一个渔场 记时刻场中的鱼量为x( 模型假设: 1在没有捕捞的条件下x(服从 Logistic模型,即 x()=f(x)=P(1-) (1)
1.产量模型 我们来研究一些再生资源的可持续发展问题.象渔业, 林业等再生资源,一定要注意适度开发,应防止“竭泽 而渔”,应在持续稳产的前提下追求产量或经济效益 的优化.下面我们考虑一个渔场. 记时刻t渔场中的鱼量为x(t). 模型假设: 1.在没有捕捞的条件下,x(t)服从Logistic模型,即 ( ) ( ) (1 ) (1) N x x t = f x = rx −
2单位时间的捕捞量(即产量)与渔场鱼量x() 成正比比例系数为E,它表示单位时间的捕捞率所 以称E为捕捞强度它可用捕鱼网眼的大小或出海 鱼船的数量来控制因此单位时间的捕捞量为 因此 h(x)=ex x()=f(x)-h(x)=r(1-)-Ex=F(x)(2) 这个方程我们可以具体解出(只要给定初始值)在 些我们不求解它,因为我们并不关心x()具体的变化过 程我们只希望知道渔场的稳定产量和保持稳定的条 件,即时间趋于无穷时渔场鱼量x()的趋势为此我们 来研究方程(2)的平衡点并分析其稳定性
2.单位时间的捕捞量(即产量)与渔场鱼量x(t) 成正比,比例系数为E,它表示单位时间的捕捞率,所 以称E为捕捞强度.它可用捕鱼网眼的大小或出海 鱼船的数量来控制.因此单位时间的捕捞量为 h(x) = Ex. ( ) ( ) ( ) (1 ) Ex F(x) (2) N x x t = f x − h x = rx − − = 因此 这个方程我们可以具体解出(只要给定初始值).在 此我们不求解它,因为我们并不关心x(t)具体的变化过 程,我们只希望知道渔场的稳定产量和保持稳定的条 件,即时间t趋于无穷时渔场鱼量x(t)的趋势.为此我们 来研究方程(2)的平衡点并分析其稳定性
回到我们的问题对方程(2),它有两个平衡点分别为 E x1=0,x2=N(1 由于F'(x1)=r-E,F(x2)=E-r, 因此若E则结论相反 解释:结论表明只要捕捞适度(Er)则渔场鱼量将趋于x1=0,因此渔 场资源将枯竭,当然谈不上获得持续产量了当E=r时,可 具体验证()→0 x(t)=f(x)-h(x)=nx(1-)-Ex=F(x)(2) N
回到我们的问题.对方程(2),它有两个平衡点,分别为 0, (1 ). 1 2 r E x = x = N − ( ) , ( ) , 1 2 由于F x = r − E F x = E − r 因此,若Er,则结论相反. ( ) ( ) ( ) (1 ) Ex F(x) (2) N x x t = f x − h x = rx − − = 解释:结论表明,只要捕捞适度(Er),则渔场鱼量将趋于x1 =0,因此,渔 场资源将枯竭,当然谈不上获得持续产量了.当E=r 时,可 具体验证x(t)→0
下面我们进一步讨论在稳产的前提下,如何控制捕捞 强度E,使得产量最大 h(x2)=Ex2=-E(P-E)=-[-(E-)2+ 所以当E=时,单位时间的产量最大为 此时, 3) 2 也可图解由于 F(x)=f(x)-h(x),因m 2=f(x) 此Fx)=0的点就 y=h(x)= ex 是fx)=h(x)=Ex的 点
下面我们进一步讨论在稳产的前提下,如何控制捕捞 强度E,使得产量最大. 也可图解.由于 F(x)=f(x)-h(x),因 此F(x)=0的点就 是f(x)=h(x)=Ex的 点. . (3) 2 . , 4 , , 2 ], 4 ) 2 ( ) ( ) [ ( 2 * 2 2 2 2 N x rN h r E r r E r N E r E r N h x E x m = = = = = − = − − + 此 时 所以当 时 单位时间的产量最大为 • • N 2 x 2 x m h y x y = h(x) = Ex y = f (x)
2经济效益模型 从经济的角度看渔场经营不应该追求产量最大而 应当追求经济效益最佳简单起见经济效益是指从 捕捞所得的收入中扣除成本后所得到的利润,并假设: 鱼的销售单价为常数,单位捕捞率(如每条出海鱼船) 的费用为常数c,那么单位时间的收入T和支出S分别 为T=ph(x)=pEx,S=cE, 单位时间的利润为R=TS=pEx-cE 在稳定条件x=x2下我们得到利润 E R(E=T(E-S(E)= PNE(---cE 易求得,当捕捞强度 E 时利润最大,此时
2.经济效益模型 从经济的角度看,渔场经营不应该追求产量最大,而 应当追求经济效益最佳.简单起见,经济效益是指从 捕捞所得的收入中扣除成本后所得到的利润,并假设: 鱼的销售单价为常数p,单位捕捞率(如每条出海鱼船) 的费用为常数c,那么单位时间的收入T和支出S分别 为 T=ph(x)=pEx, S=cE, 单位时间的利润为 R=T-S=pEx-cE. 在稳定条件x=x2下,我们得到利润 ( ) ( ) ( ) (1 ) cE (4) r E R E = T E − S E = pNE − − 易求得,当捕捞强度 (1 ) 2 pN r c ER = − 时,利润最大,此时
E、cE 利润R(E)=T(E)-S(E)=pNE(1--) 最大值点 C 此时 C C R (1+) 2 rN hR=Ex=rx(1-)==(1 2A2 ),(5) P R(E) (PN-c x2=N(1-—)
2 2 2 2 ( ) 4 ( ) (1 ), (5) 4 (1 ) (1 ), 2 2 2 pN c pNr R E p N rN c Nx h E x rx pN N c p N c x R R R R = − = = − = − = + = + ( ) ( ) ( ) (1 ) cE (4) rE R E = T E − S E = pNE − − ( 1 ) 2 pN r c E R = − 利润 最大值点 此时(1 ). 2 rE x = N −
M(x)=E2=NE(-E)=N-(E-52+所以当 E=时,单位时间的产量最大为hn=此时,x2 2 C (1--4)时利润最大,此时 2 20,h=r( ),(5) N 比较(3)和(5式可以看出在最大经济效益的原则下捕 捞率和持续产量都有所减少,但是渔场保持的稳定的鱼 量却是增加的;并且这种减少或者增加的部分随着成 本的增加而变大,随着销售单价的增长而变小
比较(3)和(5)式可以看出,在最大经济效益的原则下,捕 捞率和持续产量都有所减少,但是渔场保持的稳定的鱼 量却是增加的;并且这种减少或者增加的部分随着成 本的增加而变大,随着销售单价的增长而变小. . (3) 2 . , 4 , , 2 ], 4 ) 2 ( ) ( ) [ ( 2 * 2 2 2 2 N x rN h r E r r E r N E r E r N h x Ex = m = = = = − = − − + 时 单位时间的产量最大为 此 时 所以当 (1 ), (5) 4 , (1 ) 2 2 2 2 2 p N rN c N x h rx p N c x R R = + R = R − = − (1 ) 2 pN r c ER = − 时,利润最大,此时
3捕捞过度 上面我们所研究的模型是在计划捕捞的基础上获得的, 即渔场是由一个经营者来管理的如果渔场是向众多的 盲目的经营者开放如在公海上无计划的捕捞这时只 要有微薄的利润,经营者也会去捕捞我们称之为盲目 捕捞它将导致捕捞过度. 由4)式: E ONE R(E=PNE(--)-CE=E(PN-C 令RE)=0得到非零解E它为 C E N 称E为盲目捕捞下的临界强度 <解释
3.捕捞过度 上面我们所研究的模型是在计划捕捞的基础上获得的, 即渔场是由一个经营者来管理的.如果渔场是向众多的 盲目的经营者开放,如在公海上无计划的捕捞.这时,只 要有微薄的利润,经营者也会去捕捞.我们称之为盲目 捕捞,它将导致捕捞过度. 由(4)式: ( ) (1 ) ( ) (4) r pNE cE E pN c r E R E = pNE − − = − − 令R(E)=0得到非零解ES ,它为 (1 ) (6) pN c E r S = − 称ES为盲目捕捞下的临界强度. 解释
s=r( N(1-- 些时渔场稳定的鱼量为 s=C/p 上式表明x完全由成本价格比决定,随着价格的上 升和成本的下降,x将迅速减少 我们发现Es=2ER即盲目捕捞强度比最大效益下 的捕捞强度大一倍
此时,渔场稳定的鱼量为 x c / p (7) S = 上式表明,xS完全由成本—价格比决定,随着价格的上 升和成本的下降, xS将迅速减少. (1 ). 2 r E (1 ) , x = N − pN c E r S = − 我们发现,ES=2ER,即盲目捕捞强度比最大效益下 的捕捞强度大一倍. (1 ) 2 pN r c ER = −